Postać kanoniczna oraz część rzeczywistą i urojona liczby.

[dog_1]

Za tydzień mam poprawkę z egzaminu i mam problem z dwoma zadaniami, przy których nie wiem jak się za to wziąć
Liczbę mam zapisać w postaci kanonicznej
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3}+j }{1-j} \right)^{12}}\)

Wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną liczby
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+j \sqrt{3} }{1-j} \right) ^{48} \frac{\left( - \cos \alpha +j \sin \alpha \right) ^{5} }{-1+j \sqrt{3} }}\)

[Kamil Wyrobek]

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{ (\sqrt{3})^2+1^2}= \sqrt{4}=2}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha =30^o= \frac{ \pi }{6}}\)

\(\displaystyle{ |z|=2 \left[ \cos (\frac{ \pi }{6})+i \sin (\frac{ \pi }{6})\right]}\)

Okey. Podnieś teraz do tej potęgi.

\(\displaystyle{ (|z|)^{12}=2^{12} \left[ \cos (\frac{ \pi }{6} \cdot 12)+i \sin (\frac{ \pi }{6} \cdot 12)\right]}\)

Z mianownikiem zrób dokładnie to samo i napisz co Ci wyszło.

[chris_f]

\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}+j}{1-j}\right)^{12}=
\frac{(\sqrt{3}+j)^{12}}{(1-j)^{12}}}\)
i teraz postać trygonometryczna
\(\displaystyle{ |\sqrt{3}+j|=2,\ \cos\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin\varphi=\frac12\ \Rightarrow\ \varphi=\frac{\pi}{6}}\)
skąd
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+j)^{12}=2^{12}\left(\cos12\cdot\frac{\pi}{6}+j\sin12\cdot\frac{\pi}{6}\right)= 2^{12}}\)
\(\displaystyle{ |1-j|=\sqrt{2},\ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\ \varphi=\frac{7\pi}{4}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (1-j)^{12}=(\sqrt{2})^{12}\left(\cos12\cdot\frac{7\pi}{4}+j\sin12\cdot\frac{7\pi}{4}\right)= 2^6(\cos21\pi+j\sin21\pi)=-2^6}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}+j}{1-j}\right)^{12}=
\frac{(\sqrt{3}+j)^{12}}{(1-j)^{12}}=\frac{2^{12}}{-2^6}=-2^6=-64}\)
W drugim podobnie z tym co w nawiasie, natomiast z tym trygonometrycznym można tak:
\(\displaystyle{ (-\cos\alpha+j\sin\alpha)^5=-(\cos\alpha-j\sin\alpha)^5=
-(\cos(-\alpha)+j\sin(-\alpha))^5}\) i pomyśl teraz co wyjdzie (jaki jest argument i jaki moduł.

[Kamil Wyrobek]

Ostatecznie
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}+j}{1-j}\right)^{12}=
\frac{(\sqrt{3}+j)^{12}}{(1-j)^{12}}=\frac{2^{12}}{-2^6}=-2^6=-64}\)

Nie no z tym się nie mogę zgodzić ;]

[dog_1]

Wychodzi mi na razie wszystko tak jak ma chris ale dalej niż to działanie nie mogę wybrnąć
\(\displaystyle{ 2^6(\cos21\pi+j\sin21\pi)=-2^6}\)

Przypuszczam że wartość \(\displaystyle{ \cos21\pi}\) muszę sprawdzić poprzez wykres sin oraz cos, no i zapomniałem jak go się wykorzystywało. Macie gdzieś takie przyuczenie z wykorzystania go?
Z wykorzystaniem wujka google obliczyć się da, ale na egzaminie nie ma się lapka, czy kalkulatora.

Zostało teraz sprytnie skrócić \(\displaystyle{ \frac{2^{12} }{-2 ^{6} }=2 ^{6} = 64}\)
Podstać kanoniczna będzie wyglądać tak? \(\displaystyle{ z=64}\) ?

To zadanie zrozumiałem, dzięki, jutro z rana teraz spróbuję wykonać to drugie, które każdego z kolegów wystraszyło Choć ciężko to widzę

[chris_f]

Wykresy sinusa i cosinusa są potrzebne tylko dla przedziału \(\displaystyle{ [0,2\pi]}\) bo z okresowości tych funkcji mamy \(\displaystyle{ \sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha}\) co daje nam \(\displaystyle{ \cos21\pi=\cos(20\pi+\pi)=\cos\pi=-1,\ \sin21\pi=\sin(20\pi+\pi)=\sin\pi=0}\)
Skracanie ma wyglądać tak jak napisałem \(\displaystyle{ z=\frac{2^{12}}{-2^6}=-26=-64}\) i to jest postać kanoniczna (nie ma po prostu części urojonej).
Co do drugiego:
\(\displaystyle{ |1+j\sqrt{3}|=2,\ \cos\varphi=\frac12,\ \sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{3},\ 1=j\sqrt{3}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+j\sin\frac{\pi}{3}\right)}\)
czyli
\(\displaystyle{ (1+j\sqrt{3})^{48}=2^{48}\left(\cos48\cdot\frac{\pi}{3}+\sin48\cdot\frac{\pi}{3}\right)=2^{48}(\cos16\pi+j\sin16\pi)=2^{48}}\)
Dalej (korzystając z wyniku z pierwszego \(\displaystyle{ 1-j=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+j\sin\frac{7\pi}{4}\right)}\) czyli \(\displaystyle{ (1-j)^{48}=(\sqrt{2})^{48}\left(\cos48\cdot\frac{7\pi}{4}+j\sin48\cdot\frac{7\pi}{4}\right)=2^{24}(\cos84\pi+j\sin84\pi)=2^{24}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \left(\frac{1+j\sqrt{3}}{1-j}\right)^{48}=\frac{2^{48}}{2^{24}}=2^{24}}\)
Co do tego trygonometrycznego to wyciągam \(\displaystyle{ -1}\) przed nawias i potęgę i korzystam z parzystości cosinusa (stąd \(\displaystyle{ \cos\alpha=\cos(-\alpha)}\)) oraz nieparzystości sinusa (\(\displaystyle{ -j\sin\alpha=j\sin(-\alpha)}\)) i dlatego mamy
\(\displaystyle{ (-\cos\alpha+j\sin\alpha)^5=-\left(1(\cos(-\alpha)+j\sin(-\alpha)\right)^5=-(\cos(-5\alpha)+j\sin(-5\alpha))=-(\cos5\alpha-j\sin5\alpha)=-\cos5\alpha+j\sin5\alpha}\)
Zbierając to wszystko "do kupy" mamy
\(\displaystyle{ \left(\frac{1+j\sqrt{3}}{1-j}\right)^{48}\frac{(-\cos\alpha+j\sin\alpha)^5}{-1+j\sqrt{3}}=
2^{24}\cdot\frac{-\cos5\alpha+j\sin5\alpha}{-1+j\sqrt{3}}=\\
2^{24}\cdot\frac{-1-j\sqrt{3}}{-1-j\sqrt{3}}\cdot\frac{-\cos5\alpha+j\sin5\alpha}{-1+j\sqrt{3}}=
2^{24}(-1-j\sqrt{3})\cdot\frac{-\cos5\alpha+j\sin5\alpha}{4}=
2^{22}(\cos5\alpha-j\sin5\alpha+j\sqrt{3}\cos5\alpha+\sqrt{3}\sin5\alpha)=\\
2^{22}(\cos5\alpha+\sqrt{3}\sin5\alpha)+j\cdot2^{22}(\sqrt{3}\cos5\alpha-\sin5\alpha)}\)

\(\displaystyle{ \text{\bf{Re}}\ z=2^{22}(\cos5\alpha+\sqrt{3}\sin5\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \text{\bf{Im}}\ z=2^{22}(\sqrt{3}\cos5\alpha-\sin5\alpha)}\)

[Kamil Wyrobek]

\(\displaystyle{ \text{\bf{Re}}\ z=2^{22}(\cos5\alpha+\sqrt{3}\sin5\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \text{\bf{Im}}\ z=2^{22}(\sqrt{3}\cos5\alpha-\sin5\alpha)}\)

A nie zgubiłeś przypadkiem gdzieś liczby urojonej \(\displaystyle{ j}\)?

[chris_f]

Gdy mamy liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+bj}\) to częścią rzeczywistą jest \(\displaystyle{ a}\), a częścią urojoną jest tylko \(\displaystyle{ b}\) (bez jednostki urojonej).