potęgowanie liczb zespolonych

[matiss]

Witam,
proszę o pomoc, liczę zadanie i wychodzi mi prawie dobrze, tzn znaki mi się nie zgadzają w wyniku, jeśli mógłby ktoś rzucić okiem:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} -i \right) ^{13} \\
Z=\sqrt{3} -i, \left| Z\right|=2 \\
\begin{cases} \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin y =- \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Więc jesteśmy w IV ćwiartce i wzór \(\displaystyle{ y=2 \pi - \frac{ \pi }{6} = \frac{11}{6} \pi}\)
Podstawiam teraz wszystko pod wzór na potęgowanie liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ 2^{13} \left( \cos \left( 13 \cdot \frac{11}{6} \pi \right) +i \sin \left( 13 \cdot \frac{11}{6} \pi \right) \right)\\
8192 \left( \cos \left( \frac{89}{6} \pi \right) +i \sin \left( \frac{89}{6} \pi \right) \right) \\
8192 \left( \cos \left( 15 \pi -\frac{1}{6} \pi \right) +i \sin \left( 15 \pi -\frac{1}{6} \pi \right) \right) \\
8192 \left( \cos \left( 7 \cdot 2 \pi -\frac{1}{6} \pi +\pi \right) +i \sin \left( 7 \cdot 2 \pi -\frac{1}{6} \pi+\pi \right) \right)}\)
te \(\displaystyle{ 7 \cdot 2 \pi}\) wyrzucam, z uwagi na wzory redukcyjne
\(\displaystyle{ 8192 \left( \cos \left( \pi -\frac{1}{6} \pi \right) \right) +i \sin \left( \pi -\frac{1}{6} \pi \right) \right)}\)
Widzę, że jestem w II ćw wiec cos ujemny sin dodatni
\(\displaystyle{ 8192 \left( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \right) +i \frac{1}{2} \\
-4096\sqrt{3} + 4096i}\)

A znaki powinienem mieć na odwrót... gdzie jest błąd?

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ z=\sqrt 3 - i=2\left(\cos-\frac\pi 6+i\sin-\frac\pi 6\right)}\)

stąd:

\(\displaystyle{ z^{13}=2^{13}\cdot\left(\cos-\frac{13\pi}{6}+i\sin-\frac{13\pi}{6}\right)=2^{13}\cdot\left(\cos\left(-2\pi-\frac\pi 6\right)+i\sin\left(-2\pi-\frac\pi 6\right)\right)=}\)

\(\displaystyle{ =2^{13}\cdot\left(\cos-\frac\pi 6+i\sin-\frac\pi 6\right)=2^{13}\cdot \frac z2=2^{12}\sqrt 3-2^{12}i}\)

[matiss]

Ok czyli jeśli dobrze rozumiem to w potęgowaniu omijamy ten krok
"Więc jesteśmy w IV ćwiartce i wzór \(\displaystyle{ y=2 \pi - \frac{ \pi }{6} = \frac{11}{6} \pi}\)" i zostawiam po prostu y=1/6 tylko dlaczego u ciebie to jest -1/6? Powyższy krok robimy tylko w pierwiastkowaniu liczb zespolonych?

edit.
Innymi słowy jaki jest wzór na Y?

[xiikzodz]

Argument, czyli u ciebie \(\displaystyle{ y}\), masz dobrze wyznaczony i to zdanie z ćwiartkami jak najbardziej przydatne. Nie ma znaczenia czy użyjemy \(\displaystyle{ \frac{11\pi}6}\), czy \(\displaystyle{ -\frac\pi 6}\), bo te liczby różnią się o \(\displaystyle{ 2\pi}\), czego funkcje trygonometryczne nie widzą.

[matiss]

Ok czyli wychodzi na to, ze się gdzieś machnąłem przy wymnażaniu... no nic dzieki