Funkcje na płaszczyźnie zespolonej.

[da_vu]

Zawsze mnie interesowało jak wyglądają wykresy funkcji (o ile takie istnieją) na płaszczyźnie zespolonej ? Przykładowo taka funkcja kwadratowa, liniowa, wielomianowa, wymierna itd. ? Jak to wszystko wygląda m.in. z dziedziną, przeciwdziedziną, miejscami zerowymi i monotonicznością ? (o ile takie coś jest).

[yorgin]

Wykresów funkcji zespolonych nie sposób narysować. Przede wszystkim dlatego, że potrzeba 2 osi na argumenty i 2 osi na wartości.

Dziedzina to kwestia gustu, wszystko zależy od tego, czy chcemy się ograniczać z funkcją do kawałka płaszczyzny, czy do całej, o ile oczywiście daną funkcję możemy określić na całej płaszczyźnie.

Przeciwdziedzina - tu jest takie fajne twierdzenie z analizy zespolonej, które mówi, że pewne rodzaje funkcji przyjmują prawie wszystkie możliwe wartości na płaszczyźnie zespolonej. Albo coś takiego: funkcje ograniczone o dziedzinie będącej całą płaszczyzną zespoloną są stałe. Reguły nie ma, choć większość typowych funkcji ma przeciwdziedziny znacznie "większe" niż jest to w przypadku rzeczywistych funkcji.

Miejsca zerowe jak najbardziej istnieją Liczy się je bardzo podobnie.

Co do monotoniczności, o tym nie może być mowy. W przypadku liczb zespolonych nie ma czegoś takiego jak porównywania, która z liczb jest większa, a która mniejsza.

[marcinz]

Chodzi Ci o funkcje \(\displaystyle{ f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}}\)? Wielomiany można zdefiniować przez analogię do tych zmiennej rzeczywistej. Funkcje wymierne też (wtedy zmieni się dziedzina). Badanie miejsc zerowych wielomianu przebiega podobnie. Co więcej zachodzi zasadnicze twierdzenia algebry (każdy niestały wielomian ma pierwiastek). O monotoniczności się nie mówi, bo w ciele liczb zespolonych nie ma naturalnego porządku. A jeżeli chodzi o wykres takiej funkcji, to skoro \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) wyobrażamy sobie jako \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), to wykres takiej funkcji leży w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).