W ciele liczb zespolonych oblicz...

[Tuminure]

W ciele liczb zespolonych oblicz:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left( 1 + i \right) \cdot i - i }}\)


Obliczenia:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\left( 1 + i \right) \cdot i - i } = \sqrt[3]{i + i^{2} - i} = \sqrt[3]{i^{2}} = \sqrt[3]{-1}}\)

Co dalej?

[aalmond]

Teraz trzeba policzyć pierwiastki. Jaki jest wzór?

[yorgin]

\(\displaystyle{ -1=e^{i\pi}}\)

oraz ogólnie:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{re^{i\varphi}} = \sqrt[n]{r}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}}, k=0,\ldots,n-1}\)

[Tuminure]

Czyli wygląda to ostatecznie tak...

\(\displaystyle{ \left| e^{i\pi} \right| = 1\\
\sin\varphi = \frac{-1}{1}\\
\varphi = \frac{3}{2}\pi\\
W_{0} = \sqrt[3]{\left| e^{i\pi} \right|} \cdot \left( \frac{\cos\frac{3}{2}\pi}{3} + \frac{i\sin\frac{3}{2}\pi}{3} \right) = -\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\\
W_{1} = \sqrt[3]{\left| e^{i\pi} \right|} \cdot \left( \frac{\cos\frac{7}{2}\pi}{3} + \frac{i\sin\frac{7}{2}\pi}{3} \right) = ...\\
W_{2} = \sqrt[3]{\left| e^{i\pi} \right|} \cdot \left( \frac{\cos\frac{11}{2}\pi}{3} + \frac{i\sin\frac{11}{2}\pi}{3} \right) = ...}\)


Pierwszy pierwiastek to: \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}}\).
Dobrze kombinuję, czy coś poprzekręcałem (\(\displaystyle{ W_2 \text{ i }W_3}\) jeszcze obliczam)?

[aalmond]

Źle wystartowałeś.
\(\displaystyle{ e ^{ \pi i} = \cos \pi + i \sin \pi}\)

[Tuminure]

Źle wystartowałeś.
\(\displaystyle{ e ^{ \pi i} = \cos \pi + i \sin \pi}\)

\(\displaystyle{ \cos \pi = -1

i \cdot \sin \pi = 0

e ^{ \pi i} = -1

\left| e ^{ \pi i} \right|= 1}\)
Czyli chyba dobrze... albo ja czegoś nie rozumiem. Prosiłbym o jakieś szersze wytłumaczenie.

[aalmond]

Moduł dobrze, ale \(\displaystyle{ \varphi = \pi}\) , a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\)

[Tuminure]

W podręczniku mam...

Argumentem liczby zespolonej \(\displaystyle{ z = a + bi \neq 0}\) nazywamy taki kąt \(\displaystyle{ \varphi}\), że \(\displaystyle{ cos\varphi = \frac{a}{\left| z\right| } \wedge sin\varphi = \frac{b}{\left| z\right| }}\)

W opisywanym zadaniu:
\(\displaystyle{ a = 0

b = -1

\left| z \right| = 1

cos\varphi = 0 \wedge sin\varphi = -1}\)
Takie wartości przyjmowane są dla kąta \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi}\)

Chyba, że na zły wzór patrzę...

[yorgin]

\(\displaystyle{ cos\varphi = 0 \wedge sin\varphi = -1}\)

Odwrotnie

\(\displaystyle{ cos\varphi = -1 \wedge sin\varphi = 0}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \varphi=\pi}\)

[Tuminure]

Czyli część rzeczywista (czyli a) wynosi -1, a część urojona (czyli b) 0, tak? Jeżeli nie, to czegoś bardzo nie rozumiem .

[aalmond]

\(\displaystyle{ -1 = -1 + 0 \cdot i}\)