Równanie zespolone - obliczyć

[Krulas]

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{-3-4i}}\)

robię tak :

\(\displaystyle{ -3-4i = r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
r\cos \alpha =-3 \\
r\sin \alpha =-4\\
r^{2} =\left( \cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha \right) =9+16\\
r=5\\
\cos \alpha =- \frac{3}{5} \\
\sin \alpha =- \frac{4}{5}}\)

nie wiem co dalej robić, wydaje mi się, że trzeba znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko nie wiem jak :S
z góry dzięki za pomoc, pozdro

[szw1710]

Czy aby na pewno pierwiastek stopnia 3? Nie kwadratowy? Liczba pod pierwiastkiem świetnie nadaje się na kwadratowy. Chodzi o ładne obliczenia. Na ładny sześcienny to się nie nadaje.

[Krulas]

@up

kurczę źle przepisałem :s => POPRAWIŁEM

w każdym razie dalej nie wiem co mam robić;/

[aalmond]

\(\displaystyle{ \sqrt[2]{-3-4i} = z = a +bi \\
-3 -4i = (a+bi) ^{2}}\)
Podnieś do kwadratu. Porównaj współczynniki. Rozwiąż układ równań.

[szw1710]

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=x+iy\;/()^2\\-3-4i=x^2-y^2+2xyi}\)

Porównujesz części rzeczywiste i urojone otrzymując układ równań

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{matrix}}\)

Rozwiąż go w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y.}\)

[Krulas]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x^2-y^2=-3\\2xy=-4\end{matrix} \right \\
y= \frac{-2}{x}\\
x ^{2} -\left( \frac{-2}{x} \right) ^{2} = -3\\
x^{2} - \frac{4}{ x^{2} } +3=0\\
x^{4} +3x^{2}-4=0\\
x^{2}=t \\
t^{2}+3t-4=0\\
\Delta=25\\
\sqrt{\Delta}=5\\
t_{1} =-4\\
t_{2}=1\\
x^{2} =-4 \Rightarrow x=2i\\
x^{2} =1 \Rightarrow x=1 \\
x=-1}\)

dalej nie wiem co z tym fantem zrobić
przepraszam, że wstawiłem małą deltę zamiast dużej ale nie wiem jak koduje się dużą

[Iron_Slax]

Wydaje mi się że
\(\displaystyle{ t_1=-4}\) nie może być rozpatrywane bo jest mniejsze od zera.

Wg mnie powinniśmy rozpatrywać tylko opcję gdzie \(\displaystyle{ t_2=1}\) i wtedy:

\(\displaystyle{ x_1=1 \vee x_2=-1\\ y_1=-2 \vee y_2=2}\)

A ostatecznie:

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=1-2i \vee \sqrt{-3-4i}=-1+2i}\)

[Krulas]

ok wiem już wszystko mi się zgadza i rozumiem! dziękuje

[aalmond]

Wydaje mi się że
\(\displaystyle{ t_1=-4}\) nie może być rozpatrywane bo jest mniejsze od zera.

Jak najbardziej można.

\(\displaystyle{ x ^{2} = -4 \\
x _{1} = 2i \\
x_{2} = -2i}\)

[szw1710]

A właśnie, że nie, gdyż z naszych oznaczeń mamy \(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=x+iy,}\) co oznacza, że \(\displaystyle{ x,y}\) są liczbami rzeczywistymi.

[aalmond]

No tak. Zagalopowałem się.

[szw1710]

Nie szkodzi. Nie myli się tylko ten, kto nic nie robi.