Witam, mam takie zadania :
\(\displaystyle{ 1) (1+i)^{2011}}\)
\(\displaystyle{ 2) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right) ^{1200}}\)
Rozwiązanie 1)
\(\displaystyle{ \text{Re}z=1 \newline
\text{Im}z=1 \newline
\left| z\right| = \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\newline
\cos y =\frac{1}{\sqrt{2}}\newline
\sin y =\frac{1}{\sqrt{2}}\newline
y=a _{0} \newline
\text{Arg}=45 ^{o} =\frac{\pi}{4}\newline
\left( 1+i \right) ^{2011}=\sqrt{2}^{2011} \left( \cos \left( 2011\cdot\frac{\pi}{4} \right) +i\cdot \sin \left( 2011\cdot\frac{\pi}{4} \right)\right) \newline
\left( 1+i \right) ^{2011}=2^{????} \left( \cos \frac{2011}{4}\pi+i\cdot \sin \frac{2011}{4}\pi \right)}\)
co powinno być w miejscu ???? ?
nie wiem jak rozbić tą potęgę, czy może zostawić to jako \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{2011}}\) i czy w ogóle to jest poprawnie policzone ?
i nie wiem jak zacząć drugie zadanie....z góry dzięki za pomoc
Potęgowanie liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 2 wrz 2011, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: [PL]
- Podziękował: 2 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 08:01 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Wskazówka dot. wykładnika:
\(\displaystyle{ 2011=2 \cdot 1005+1\\ \sqrt{a}=a^{ \frac{1}{2} }\\a^{n + m}=a^n \cdot a^m}\)
Argument możesz uprościć korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.
Drugie zadanie robisz analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{i}{2}=i \cdot \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2011=2 \cdot 1005+1\\ \sqrt{a}=a^{ \frac{1}{2} }\\a^{n + m}=a^n \cdot a^m}\)
Argument możesz uprościć korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.
Drugie zadanie robisz analogicznie:
\(\displaystyle{ \frac{i}{2}=i \cdot \frac{1}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 2 wrz 2011, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: [PL]
- Podziękował: 2 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Czyli przykład 2) będzie wyglądać tak :
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right)^{1200} \newline
z=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \newline
\left| z\right| =\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1 \newline
\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\newline
\sin x=\frac{1}{2}\newline
z=1^{1200}\left( \cos \frac{1200}{6}\pi+i \sin \frac{1200}{6}\pi\right)\newline
z= \cos 200\pi + i \sin 200\pi}\)
Czy wynik i działania są prawidłowe ?
btw. mam nadzieje, że już latex w 100 % prawidłowo zapisany
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \right)^{1200} \newline
z=\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2} \newline
\left| z\right| =\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1 \newline
\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\newline
\sin x=\frac{1}{2}\newline
z=1^{1200}\left( \cos \frac{1200}{6}\pi+i \sin \frac{1200}{6}\pi\right)\newline
z= \cos 200\pi + i \sin 200\pi}\)
Czy wynik i działania są prawidłowe ?
btw. mam nadzieje, że już latex w 100 % prawidłowo zapisany
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 14:52 przez ares41, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Edytowano na prośbę autora.
Powód: Poprawa wiadomości. Edytowano na prośbę autora.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Zapisu można się doczepić.
Dlaczego we wzorze na moduł pojawia się jednostka urojona?
Dlaczego argumenty sinusa i cosinusa są różne?
Uprość jeszcze wartość argumentu, korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.
Dlaczego we wzorze na moduł pojawia się jednostka urojona?
Dlaczego argumenty sinusa i cosinusa są różne?
Uprość jeszcze wartość argumentu, korzystając z okresowości f. trygonometrycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 2 wrz 2011, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: [PL]
- Podziękował: 2 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
\(\displaystyle{ \left| z\right| =\sqrt{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=1 \newline}\)
zamiast i jest już poprawnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
i \(\displaystyle{ \sin \text{ z } \cos}\) powinien być taki sam \(\displaystyle{ \sin x, \cos x}\), przypadkowo napisałem dwa różne, jeśli mogę prosić o edycję tamtego posta, aby ludzie, którzy chcieli z tego korzystać by mieli poprawny zapis.
zamiast i jest już poprawnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
i \(\displaystyle{ \sin \text{ z } \cos}\) powinien być taki sam \(\displaystyle{ \sin x, \cos x}\), przypadkowo napisałem dwa różne, jeśli mogę prosić o edycję tamtego posta, aby ludzie, którzy chcieli z tego korzystać by mieli poprawny zapis.
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 14:54 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.