Obliczanie pierwiastków

[gRypa]

Przykład:
\(\displaystyle{ z ^{4} =i ^{5} (1-i) ^{3}}\)
Rozbijam na dwie liczby zespolone:
\(\displaystyle{ i ^{5}\\
(1-i) ^{3}}\)
Obliczam:
\(\displaystyle{ i ^{5} = 1 ^{5} \left( \cos \frac{5 \pi }{2} + i \cdot \sin \frac{5 \pi }{2} \right)}\)

Przy drugiej części nie jestem pewna konta \(\displaystyle{ \varphi}\)
Bo:
\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{\sqrt{2} }{2} \\
\sin\varphi=- \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
To może być kąt \(\displaystyle{ -45^{\circ} = - \frac{ \pi }{4}}\)
Lub kąt \(\displaystyle{ 315 ^{\circ}= \frac{ 7 \cdot \pi }{4}}\)

Który z nich powinno się stosować? Bo niestety w moich notatkach jest to różnie.
Najgorsze jest to, że obiema metodami juz pierwiastek zerowego rzędu wychodzi jak dla mnie bez sensu. Biorę kąt \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4}\\
\left( 1-i \right) ^{3}= \sqrt{2} ^{3} \left( \cos \left( - \frac {3 \cdot \pi }{4} + i \cdot \sin \left( -\frac{ 3 \cdot \pi }{4} \right) \right)}\)
Mnożę obie liczby:
\(\displaystyle{ \left( 1-i \right) ^{3} \cdot i ^{5} = 2 \sqrt{2} \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{4}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{4} \right)}\)
Pierwiastek pierwszy, zerowego stopnia:
\(\displaystyle{ z _{0} = \sqrt [4] {2 \sqrt{2} } \left( \cos \frac {7 \cdot \pi }{8}+ i \cdot \sin \frac{ 7 \cdot \pi }{8} \right)}\)

Jak obliczyć cosinus lub sinus tego kąta w \(\displaystyle{ z_{0}}\)? Gdzie jest błąd? Czy ma znaczenie który kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) stosujemy, ujemny czy dodatni?

[sonicwork]

najpierw zmień obie liczby na postać trygonometryczną potem podnieś do potęgi (mam nadzieje że znasz wzór) i pomnóż a dopiero wynik poddasz pierwiastkowaniu

przy zamianie na postać tryg. :
-cosinus ma zawsze taka sama wartość niezależnie od tego czy jest liczony np z 45
stopni czy z -45 stopni
-sinus przejmuje znak kąta czyli jak jest ujemny to kat jest ponad 180 stopni lub jest na minusie i mniejszy od 180

[abc666]

Po co kombinujesz z tym \(\displaystyle{ i}\)?

\(\displaystyle{ i^{4}=1}\)

[gRypa]

Wszystko prawda, ale nikt nie odpowiedział konkretnie na pytanie jak to jest z tymi kątami, który należy zastosować w tym przypadku.

[abc666]

Przecież \(\displaystyle{ \sin(x)=\sin(x+2k\pi)}\), bez różnicy który kąt weźmiesz. Dostaniesz tylko pierwiastki w różnej kolejności.

Co to jest pierwiastek zerowego stopnia?

Powiedz skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{ 7 \cdot \pi }{8}}\)