Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: marlenka111 »

Rozwiązać;
1.\(\displaystyle{ \left| z+i\right|+\left| z-i\right|=3}\)
2.\(\displaystyle{ \left| z-2\right| <3}\)
3.\(\displaystyle{ 4z=i\left| z\right|\left( \overline{z}\right)^2}\)
kolorowe skarpetki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 11 cze 2010, o 11:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdynia
Pomógł: 64 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: kolorowe skarpetki »

I na czym polega Twój problem?
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: fon_nojman »

1) Skorzystaj z \(\displaystyle{ z=(a,b)}\) i \(\displaystyle{ |z-i|=|z+1|-4ab.}\)

2) To jest koło otwarte o środku w \(\displaystyle{ (2,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3.}\)

3) Przyłóż moduł do obu stron równania.
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: marlenka111 »

1. w pierwszym nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \left| z-i\right| =\left| z+1\right| -4ab}\), podstawiajac jakiekolwiek liczby wychodzi rownanie sprzeczne
2. rozumiem, dzieki:)
3.mam pytanie mozna to zrobic tak:
\(\displaystyle{ 4re^{i \alpha }=1 \cdot e^{i \cdot 0}r (r^2e^{-i 2\alpha})}\)
frej

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: frej »

1. Jaka jest definicja elipsy?
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: marlenka111 »

Aha czyli to bedzie elipsa o ogniskach w punktach \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ -i}\)? Ale jak na takie cos wpasc?
A z 3 rownaniem jak bedzie?
frej

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: frej »

Definicja jest taka, że elipsa to zbiór punktów, których suma odległości od dwóch danych punktów jest stała. I tak jest w tym przypadku. Suma odległości od punktów \(\displaystyle{ (0,1)}\) i \(\displaystyle{ (0,-1)}\) wynosi \(\displaystyle{ 3}\)

A w trzecim dobrze zaczęłaś (\(\displaystyle{ 4r e^{i\alpha} = e^{i \frac{\pi}{2}} r \cdot \left( r e^{-i\alpha} \right) ^2}\)) Teraz porównaj ze sobą moduły obu stron i resztę.
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: marlenka111 »

ok czyli to bedzie wygladalo tak?:
\(\displaystyle{ 4re^{i \alpha }=e^{i\frac{\pi}{2}}r(re^{-i \alpha })^2}\)
\(\displaystyle{ 4re^{i \alpha }=r^3e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-2i \alpha }}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 4r=r^3 \\ \alpha =\frac{\pi}{2}-2 \alpha +2k\pi\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} r=0 \vee r=2 \\ \alpha =\frac{\pi+4 \pi k}{6} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ z=0 \vee z=2e^{i \frac{\pi+4 \pi k}{6}}}\)

A i mam jeszcze jedno pytanie, kompletnie nie moge sobie poradzic z ta nierownoscia, moze jakies wskazowki?
\(\displaystyle{ \left|\frac{z-i}{z+1} \right|>1}\)
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: Crizz »

Po wyznaczeniu dziedziny pomnóż przez mianownik. Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ |z_1-z_2|}\) jest odległością liczb \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\).
marlenka111
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 1 wrz 2011, o 11:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 2 razy

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: marlenka111 »

Ok, czyli to bedzie mniej wiecej tak?:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-i}{z+1} \right|>1}\) \(\displaystyle{ z \neq -1 \Rightarrow x \neq -1 \wedge y \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \left| z-i\right|>\left| z+1\right|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+\left( y-1\right)^2 } > \sqrt{\left( x+1\right)^2+y^2 }}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2-2y+1>x^2+2x+1+y^2}\)
\(\displaystyle{ -2y>2x}\)
\(\displaystyle{ y<-x}\) czyli rozwiazaniem bedzie wszystko pod prosta y=-x z wyłączeniem tej prostej i dziedziny?
frej

Rownania i nierownosci z liczb zespolonych

Post autor: frej »

Geometrycznie można to tak zrobić:
\(\displaystyle{ \left| z-i \right| > \left| z+1 \right|}\)
to oznacza dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ z}\) jest bliżej punktu \(\displaystyle{ A(-1,0)}\) niż \(\displaystyle{ B(1,0)}\), tzn. leży poniżej symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\), tzn. prostej \(\displaystyle{ y=-x}\).
ODPOWIEDZ