Czy podana liczba zespolona spełnia równanie

Amino2009 · Post autor: **Amino2009** » 31 sie 2011, o 14:19

Jak zabrać się za zadania takiego typu: Czy podana liczba zespolona spełnia równanie \(\displaystyle{ z ^{120}=1}\)?
a)\(\displaystyle{ z= \frac{\sqrt{5}+i}{ \sqrt{3} }}\)
b)\(\displaystyle{ z= \frac{\sqrt{3}+i}{ 2 }}\)

frej · Post autor: **frej** » 31 sie 2011, o 14:40

a) ile wynosi moduł ?
b) postać trygonometryczna

Amino2009 · Post autor: **Amino2009** » 31 sie 2011, o 15:12

a) \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ |z|=1\\
\alpha = \frac{ \pi }{6} \\
z=\cos\frac{ \pi }{6}+\sin\frac{ \pi }{6}}\)
co dalej?

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 sie 2011, o 15:16

a) Jaki jest moduł liczby \(\displaystyle{ z^{120}}\) i co z tego wynika ?
b) Wzór de Moivre'a

Amino2009 · Post autor: **Amino2009** » 31 sie 2011, o 15:23

myślałam że da się to policzyć szybciej, niż przez wzór de Moivre'a, jeśli nie to ok. Umiem go zastosować, ale jeśli chodzi o podpkt. a to nie widze jaki jest moduł liczby \(\displaystyle{ z^{120}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 sie 2011, o 15:29

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{2} \Rightarrow |z^{120}|=2^{60}}\),
natomiast moduł liczby z prawej strony równania wynosi \(\displaystyle{ 1}\),
zatem \(\displaystyle{ z= \frac{\sqrt{5}+i}{ \sqrt{3} }}\) nie spełnia tego równania.

Amino2009 · Post autor: **Amino2009** » 31 sie 2011, o 15:34

czyli te równanie będą spełniać tylko liczby których moduł jest równy 1?

ares41 · Post autor: **ares41** » 31 sie 2011, o 15:36

Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. Jeśli już zachodzi, sprawdzasz ze wzoru de Moivre'a, czy całość się zgadza.

frej · Post autor: **frej** » 31 sie 2011, o 15:38

Jeśli liczba spełnia to równanie, to jej moduł wynosi jeden, ale jeśli moduł liczby zespolonej wynosi jeden, to niekoniecznie liczba ta będzie spełniać to równanie.

Amino2009 · Post autor: **Amino2009** » 31 sie 2011, o 15:54

ok. Rozumiem, dziękI!