Witam, mam problem z takim działaniem:
\(\displaystyle{ \frac{ \left( 3-3i \right) ^{7} }{ \left( 4 + 4 \sqrt{3}i \right) ^{9} }}\)
Na początku doprowadzam liczbę \(\displaystyle{ Z_{1}}\) do postaci trygonometrycznej. Moduł wyszedł \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\), kąt fi \(\displaystyle{ \frac{7 \pi }{4}}\). A więc:
\(\displaystyle{ \left( 3-3i \right) ^{7} = \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{7} \left( \cos \frac{49 \pi}{4} + i\sin \frac{49 \pi}{4} \right) =\\
\left( 3 \sqrt{2} \right) ^{7} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}i \right)}\)
Dobrze robię do tej pory? Co zrobić z pierwszym nawiasem?
Potęgowanie liczby zespolonej
Potęgowanie liczby zespolonej
Ostatnio zmieniony 30 sie 2011, o 22:51 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Potęgowanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \left( 3\sqrt{2} \right) ^7 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \right) =3^7\cdot8\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i \right) =8\cdot3^7 \left( 1+i \right)}\)
Ostatnio zmieniony 31 sie 2011, o 00:55 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
Potęgowanie liczby zespolonej
Dzięki za pomoc. Wyszło. Choć nie do końca. Nie wiem czy w odpowiedzi jest błąd czy ja robię źle.
Górne \(\displaystyle{ Z}\) wyszło \(\displaystyle{ 17496 + 17496i}\), zaś dolne \(\displaystyle{ 2^{27}}\). Tak więc odpowiedź powinna wyglądać tak: \(\displaystyle{ \frac{17496 + 17496i}{2^{27}}}\)
W odpowiedzi jest minus przed całym ułamkiem. Dlaczego?
\(\displaystyle{ Z_{2}}\) rozwiązuję tak:
\(\displaystyle{ 8^{9} \left(\cos 3 \pi + \ i\sin 3 \pi\right) = \\
2^{27} \left(\cos \pi + \ i\sin \pi\right) = \\
2^{27} \left(1 + 0i\right) = \\
2^{27}}\)
Górne \(\displaystyle{ Z}\) wyszło \(\displaystyle{ 17496 + 17496i}\), zaś dolne \(\displaystyle{ 2^{27}}\). Tak więc odpowiedź powinna wyglądać tak: \(\displaystyle{ \frac{17496 + 17496i}{2^{27}}}\)
W odpowiedzi jest minus przed całym ułamkiem. Dlaczego?
\(\displaystyle{ Z_{2}}\) rozwiązuję tak:
\(\displaystyle{ 8^{9} \left(\cos 3 \pi + \ i\sin 3 \pi\right) = \\
2^{27} \left(\cos \pi + \ i\sin \pi\right) = \\
2^{27} \left(1 + 0i\right) = \\
2^{27}}\)
Ostatnio zmieniony 31 sie 2011, o 09:27 przez ares41, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Potęgowanie liczby zespolonej
Mam również problem z takim zadaniem:
\(\displaystyle{ \frac{\left(- \sqrt{3} - i\right) ^{12} }{\left(1 + \sqrt{3}i \right) ^{4} } \cdot \left(1 - i\right) ^{10}}\)
Możecie zobaczyć czy dobrze obliczyłem \(\displaystyle{ Z _{1}, Z _{2}, Z _{3}}\)? Najpierw liczyłem ułamek od góry, na koniec drugi licznik:
\(\displaystyle{ Z _{1} = 2 ^{12}\\
Z _{2} = 2 ^{3}\left(-1 - \sqrt{3}i \right)\\
Z _{3} = -2 ^{5}i}\)
Po podstawieniu i wykonaniu działania nie wychodzi mi to, co trzeba.
\(\displaystyle{ \frac{\left(- \sqrt{3} - i\right) ^{12} }{\left(1 + \sqrt{3}i \right) ^{4} } \cdot \left(1 - i\right) ^{10}}\)
Możecie zobaczyć czy dobrze obliczyłem \(\displaystyle{ Z _{1}, Z _{2}, Z _{3}}\)? Najpierw liczyłem ułamek od góry, na koniec drugi licznik:
\(\displaystyle{ Z _{1} = 2 ^{12}\\
Z _{2} = 2 ^{3}\left(-1 - \sqrt{3}i \right)\\
Z _{3} = -2 ^{5}i}\)
Po podstawieniu i wykonaniu działania nie wychodzi mi to, co trzeba.
Potęgowanie liczby zespolonej
Kolejny problem Nie wiem czy warto zakładać nowy temat, więc napiszę tutaj.
Mam do policzenia taki wielomian: \(\displaystyle{ (3+1)z ^{2} + (1-i)z - 6i = 0}\)
Problem pojawia się już przy wyliczaniu pierwiastka z delty. Zamieszczam obliczenia:
\(\displaystyle{ \Delta = (1-i) ^{2} - 4(3+i)(-6i)\\
\Delta = 70i -24}\)
Liczę pierwiastek z delty:
\(\displaystyle{ \sqrt{70i -24} = x + yi \setminus \cdot (...)^{2}\\
70i - 24 = x^{2} + 2xyi - y^{2}\\
\begin{cases} x^{2} - y^{2} = -24 \\ 2xy = 70 \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{70^{2} + (-24)^{2}} \end{cases}}\)
Dodaję wiersz 1 i 3 do siebie:
\(\displaystyle{ 2x^{2} = 5452\\
x^{2} = 2726}\)
I na tym koniec. Co robię źle? Patrzyłem na to ze wszystkich stron i wydaje mi się, że wszystko jest w porządku, jednak nie mogę tego pierwiastka obliczyć, by była liczba całkowita.
Mam do policzenia taki wielomian: \(\displaystyle{ (3+1)z ^{2} + (1-i)z - 6i = 0}\)
Problem pojawia się już przy wyliczaniu pierwiastka z delty. Zamieszczam obliczenia:
\(\displaystyle{ \Delta = (1-i) ^{2} - 4(3+i)(-6i)\\
\Delta = 70i -24}\)
Liczę pierwiastek z delty:
\(\displaystyle{ \sqrt{70i -24} = x + yi \setminus \cdot (...)^{2}\\
70i - 24 = x^{2} + 2xyi - y^{2}\\
\begin{cases} x^{2} - y^{2} = -24 \\ 2xy = 70 \\ x^{2} + y^{2} = \sqrt{70^{2} + (-24)^{2}} \end{cases}}\)
Dodaję wiersz 1 i 3 do siebie:
\(\displaystyle{ 2x^{2} = 5452\\
x^{2} = 2726}\)
I na tym koniec. Co robię źle? Patrzyłem na to ze wszystkich stron i wydaje mi się, że wszystko jest w porządku, jednak nie mogę tego pierwiastka obliczyć, by była liczba całkowita.
Potęgowanie liczby zespolonej
No tak, nie wiem w ogóle, co ja takiego robiłem Jednak późna pora robi swoje
Dzięki.-- 12 wrz 2011, o 16:23 --Pierwiastek z delty wynosi \(\displaystyle{ 5 + 7i}\) lub \(\displaystyle{ -5 - 7i}\)? Jeśli tak, to znowu robię coś nie tak.
Chcąc obliczyć pierwiastki wielomianu podstawiam dane do wzorów \(\displaystyle{ Z _{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}; Z _{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}}\).
Pierwiastki po wyliczeniu wynoszą \(\displaystyle{ Z_{1} = \frac{2}{3} + 4i; Z_{2} = - 1 - 3i}\)
Wg odpowiedzi powinno być tak: \(\displaystyle{ 1 + i}\) oraz \(\displaystyle{ - \frac{6}{5} - \frac{3}{5} i}\)
Co tym razem jest nie tak??
Dzięki.-- 12 wrz 2011, o 16:23 --Pierwiastek z delty wynosi \(\displaystyle{ 5 + 7i}\) lub \(\displaystyle{ -5 - 7i}\)? Jeśli tak, to znowu robię coś nie tak.
Chcąc obliczyć pierwiastki wielomianu podstawiam dane do wzorów \(\displaystyle{ Z _{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a}; Z _{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a}}\).
Pierwiastki po wyliczeniu wynoszą \(\displaystyle{ Z_{1} = \frac{2}{3} + 4i; Z_{2} = - 1 - 3i}\)
Wg odpowiedzi powinno być tak: \(\displaystyle{ 1 + i}\) oraz \(\displaystyle{ - \frac{6}{5} - \frac{3}{5} i}\)
Co tym razem jest nie tak??
-
ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
Potęgowanie liczby zespolonej
Wyniki w odpowiedziach są poprawne. Pierwiastek z delty dobrze policzony. Prawdopodobnie pomyliłeś się w przekształcaniu wyniku - możliwy błąd w mnożeniu/dzieleniu itp.
Pokaż całe obliczenia - wskażemy co jest źle.
Pokaż całe obliczenia - wskażemy co jest źle.
Potęgowanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ Z_{1} = \frac{-1 + i + 5 + 7i}{6 + 2i} = \frac{2}{3} + 4i\\
Z_{2} = \frac{-1 + i - 5 - 7i}{6 + 2i} = -1 -3i}\)
W obu przypadkach brałem ten sam pierwiastek z delty: \(\displaystyle{ -5 - 7i}\).
Z_{2} = \frac{-1 + i - 5 - 7i}{6 + 2i} = -1 -3i}\)
W obu przypadkach brałem ten sam pierwiastek z delty: \(\displaystyle{ -5 - 7i}\).
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Potęgowanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ Z_{1} = \frac{-1 + i + 5 + 7i}{6 + 2i} = \frac{\left( 4+8i\right) \left( 6-2i\right) }{\left( 6 + 2i\right) \left( 6-2i\right) }}\)
wymnażasz nawiasy w liczniku i mianowniku i powinno wyjść dobrze. Dzięki temu, że pomnożyliśmy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika czyli \(\displaystyle{ 6-2i}\), wykonując mnożenie w mianowniku możemy zastosować wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ \left( a-b\right) \cdot \left( a+b\right) = a ^{2} - b ^{2}}\) , pozbywając się tym samym jednostki urojonej.
W tym \(\displaystyle{ Z _{2}}\) podobnie.
wymnażasz nawiasy w liczniku i mianowniku i powinno wyjść dobrze. Dzięki temu, że pomnożyliśmy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika czyli \(\displaystyle{ 6-2i}\), wykonując mnożenie w mianowniku możemy zastosować wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ \left( a-b\right) \cdot \left( a+b\right) = a ^{2} - b ^{2}}\) , pozbywając się tym samym jednostki urojonej.
W tym \(\displaystyle{ Z _{2}}\) podobnie.