Wyprowadz wzor w dziedzinie zespolonej.

[Bartuson]

Wyprowadź wzór na \(\displaystyle{ \Im\left( \sin\left( 2z\right) \right)}\). Jakiej klasy jest ta funkcja?
Prosiłbym o jakieś naprowadzenie.

[Insol3nt]

z definicji

[Bartuson]

\(\displaystyle{ \sin\left( 2z\right)=\sin(2x)\cos(2y)+i\cos(2x)\sin(2y)\\
\Im\sin(2z)=i\cos(x)\sin(2y)}\)
tak?

[Dasio11]

Prawie.

\(\displaystyle{ \sin 2z = \sin 2x \cos 2y \mathrm i + \cos 2x \sin 2y \mathrm i = \sin 2x \cosh 2y + \mathrm i \cos 2x \sinh 2y}\)

ze wzoru na sinus sumy oraz wzorów Eulera.
Tak z ciekawości: jak definiujesz \(\displaystyle{ \sin z?}\)

[Bartuson]

racja mialem blad z \(\displaystyle{ \cos}\) zamiast \(\displaystyle{ \cosh}\)i sinusem.
ze wzorow eulera \(\displaystyle{ \sin(z)= \frac{ e^{iz}- e^{-iz} }{2}}\)

-- 4 wrz 2011, o 17:34 --

Teraz zamienic sinusy i cosinusy ze wzorow eulera? i to bedzie wynik?

[Dasio11]

Właściwie to chodziło mi o wzór \(\displaystyle{ e^{ \varphi \mathrm i} = \cos \varphi + \mathrm i \sin \varphi}\) - użyty, by pokazać tożsamości

\(\displaystyle{ \sin \mathrm ix = \mathrm i \sinh x \\
\cos \mathrm ix = \cosh x.}\)

Dowieść ich można również za pomocą szeregów.

Wynik to przecież

\(\displaystyle{ \Im \sin 2z = \Im \left( \sin 2x \cosh 2y + \mathrm i \cos 2x \sinh 2y \right) = \cos 2x \sinh 2y}\)

i (chyba) nic już nie trzeba z nim robić.