Wykazać prawdziwość zdania.

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 27 sie 2011, o 15:24

Wykazać prawdziwość zdania:
\(\displaystyle{ \exists\ z \in \mathbb{C},\ \left| \cos\left( z\right) \right|>1}\)
Prosiłbym o jakieś naprowadzenie... cosinus jest ograniczony przeciez od -1 do 1.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 27 sie 2011, o 15:26

Bartuson pisze:cosinus jest ograniczony przeciez od -1 do 1.

Cosinus rzeczywisty tak, zespolony niekoniecznie. Jaka jest def. cosinusa z użyciem liczb zespolonych?

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 27 sie 2011, o 15:35

\(\displaystyle{ \frac{ e^{iz}+ e^{-iz} }{2}\\
e ^{iz}=w\\
\left| \frac{w+ \frac{1}{w} }{2} \right|>1\\
\left| \frac{ w^{2}+1 }{w} \right|>2\\
w ^{2}-2w+1>0\\
w=1\\
e ^{iz}=1\\
z=2k \pi ,\ k \in \mathbb{C}}\)
tak?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 27 sie 2011, o 15:49

Akurat dla \(\displaystyle{ w=1}\) masz równość, a i niektóre przejścia są "ciekawe". Kombinujesz dobrze, tylko przykład musisz wybrać inny.

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 27 sie 2011, o 16:05

powinno byc:
\(\displaystyle{ w \in \left( - \infty ,1\right) \cup \left( 1, \infty \right)}\)
ale jak wtedy znaleść wartosci "z" ktore to spelniaja?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 27 sie 2011, o 16:11

Też niekoniecznie, bo to przejście
\(\displaystyle{ \left| \frac{ w^{2}+1 }{w} \right|>2\\ w ^{2}-2w+1>0}\)
jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ w>0}\)

ale jak wtedy znaleść wartosci z ktore to spelniaja?

To wybierz jakąś wartość \(\displaystyle{ w}\), która spełnia i stąd znajdź \(\displaystyle{ z}\). Swoją drogą to widzę, że się ograniczasz tylko do \(\displaystyle{ w\in\mathbb{R}}\) ale w sumie to wystarcza.

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 27 sie 2011, o 16:28

czyli wychodzi, że:
\(\displaystyle{ e ^{iz}>1}\)
i co dalej?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 27 sie 2011, o 16:31

I teraz wybierz sobie konkretną wartość, np. 5 i rozwiąż \(\displaystyle{ e^{i z}=5}\) (a w zasadzie też nie do końca rozwiąż, bo wystarczy, że znajdziesz choć jedno \(\displaystyle{ z}\) to spełniające).

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 27 sie 2011, o 16:47

Czyli wykaze prawdziwość tego zdania jak napisze tak:
\(\displaystyle{ e ^{iz}>1\\
dla\ e ^{iz}=2\\
iz=\ln\left( 2\right) \Rightarrow z=-i\ln\left( 2\right)}\)
odp, ze zdanie prawdziwe dla \(\displaystyle{ z=-i\ln\left( 2\right)+2 \pi n,\ n \in \mathbb{C}}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 27 sie 2011, o 17:46

Zdanie jest zawsze prawdziwe Bo w końcu tam masz "istnieje \(\displaystyle{ z}\)", a ty pokazałeś, że faktycznie istnieje.