Równanie w dziedzinie zespolonej.

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 26 sie 2011, o 11:15

Jak postępować przy rozwiązaniu tego równania?
\(\displaystyle{ e^{z} =i}\) ?
Myślałem o rozwinieciu z def \(\displaystyle{ e^{z}= e^{x} \cos y + e^{x} \sin y i}\) ale nie wiem co dalej.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 26 sie 2011, o 11:30

Dalej porównaj część urojoną z urojoną i rzeczywistą z rzeczywistą

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 26 sie 2011, o 11:45

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{x} \cos y =0 \\ e^{x}i \sin y =i \end{cases} \\
\begin{cases} e^{x} \cos y =0 \\ e^{x} \sin y =1 \end{cases}}\)
i co teraz?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 26 sie 2011, o 11:48

Teraz trzeba pomyśleć. Rozwiąż ten układ równań. Zadanie już na poziomie liceum

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 26 sie 2011, o 11:54

czyli z układu wynika, ze:
\(\displaystyle{ e^{x}= \frac{1}{ \sin y}}\)
stąd \(\displaystyle{ \ctg y=0}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{2} +k \pi , k \in C\\
x=0}\)
tak?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 26 sie 2011, o 11:55

No nie. Z układu takie coś nie wynika.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 26 sie 2011, o 12:00

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{x} \cos y =0 \\ e^{x} \sin y =1 \end{cases}}\)
Z pierwszego: \(\displaystyle{ e^x=0 \vee \cos y=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ e^x \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), zostaje \(\displaystyle{ \cos y=0, \ y=\ldots}\)

Bartuson · Post autor: **Bartuson** » 26 sie 2011, o 12:04

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{x}\cos y=0 \\ e^{x}= \frac{1}{\sin y} \end{cases} \\
\begin{cases} \frac{\cos y}{\sin y}=0 \\ e^{x}= \frac{1}{\sin y} \end{cases} \\
\ctg y=0 \text{ dla }y= \frac{ \pi }{2}+k \pi \\
\sin y \text{ dla } y= \frac{ \pi }{2} \text{, czyli } e^{x}=1 \text{ dla } x=0}\)