Naszkicuj na płaszczyźnie Gaussa zbiory

[Lupo]

Proszę o pomoc w poniższych zadaniach:

1) Naszkicuj na płaszczyźnie Gaussa

\(\displaystyle{ A= \left\{ z \in \mathbb{C}: \text{Re} \frac{z}{z+i}= 0 \wedge \frac{z}{z+i} \neq 0 \right\}}\)

a więc wiem, że liczba \(\displaystyle{ w \in \mathbb{C}: w= \frac{z}{z+i} = 0 +it}\), gdzie \(\displaystyle{ t \neq 0}\) i \(\displaystyle{ z \neq -1}\), skad wynika, ze gdy przyjmę \(\displaystyle{ z=a+ib}\) to gdy \(\displaystyle{ a=0}\) to \(\displaystyle{ b \neq -1}\)

- mnożę liczbę \(\displaystyle{ w=\frac{z}{z+i}}\) przez jej sprzężenie, za liczbę \(\displaystyle{ z}\) podstawiam \(\displaystyle{ a+ib}\) i wychodzi mi, ze: \(\displaystyle{ w= \frac{a^2+b^2+b}{a^2+(b+1)^2} +i \frac{-a}{a^2+(b+1)^2}}\)

a skoro \(\displaystyle{ w= \frac{z}{z+i} = it}\) to: \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+b}{a^2+(b+1)^2}=0}\), wiec

\(\displaystyle{ a^2+b^2+b=0}\), skad wychodzi mi okrąg \(\displaystyle{ S \left( 0,- \frac{1}{2} \right)}\), o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}}\). Wcześniej wykluczyłem przypadek \(\displaystyle{ a=0 \wedge b \neq -1}\), wiec byłby to wyżej wymieniony okrąg bez danego punktu.

Wszystkie te obliczenia są poprawne, tylko nie wiem czy to jest wszystko co mam napisać.

2) Korzystając z metryki zespolonej naszkicuj zbiór:

\(\displaystyle{ B= \left\{ z \in \mathbb{C}: \left| \frac{z-5}{z-1} \right| = 1\right\}}\)

Niestety nie za bardzo wiem co to jest metryka, a wiki do mnie nie przemawia, czy mógłby ktoś mi to w miarę łatwo wytłumaczyć i pomóc w rozwiązaniu przykładu.

[Crizz]

1) O ile nie ma pomyłki w obliczeniach po drodze, to jest OK. Uwzględniasz wszak wszystkie liczby, które mogą spełniać wyjściową zależność.

2) Chodzi prawdopodobnie o to, zebyś potraktował np. \(\displaystyle{ |z-5|}\) jako odległość liczb \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ 5}\).

[Lupo]

a wiec, mam rozumiec, ze liczba \(\displaystyle{ z, z \in C}\) jest oddalona od liczb \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) (ktore traktuje jako czesci rzeczywiste liczb zespolonych) o ta sama odleglosc, wiec rozwiazaniem jest dowolna liczba \(\displaystyle{ z=3+ib, b \in R}\), a wiec bedzie to pionowa prosta przecinajaca os rzeczywista w punkcie \(\displaystyle{ z=3}\).

Jednak wszystko to zrobilem z wlasnosci modulu, wczesniej podstawiajac \(\displaystyle{ z=a+ib}\). Wiec czym jest ta metryka zespolona?

[Crizz]

Nie bardzo rozumiem Twoich wątpliwości. Zaproponowałeś dwie metody rozwiązania zadania: pierwszą, wykorzystującą fakt, że odległość na płaszczyźnie zespolonej wyznaczona jest metryką \(\displaystyle{ d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|}\), oraz drugą, wykorzystującą podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\). W zadaniu proszą Cię o tę pierwszą metodę.

[Lupo]

po prostu nie wiem jak zrobic to zadanie wedlug metody korzystajacej z metryki, poniewaz nie mialem stycznosci z pojeciem metryki, ani tym bardziej z przykladami takich zadan.

Czy moglbys mi to zapisac w formalny sposob, jak ma wygladac rozwiazanie tego zadania od poczatku do konca, bo kompletnie nie wiem co mam zrobic

[Crizz]

Przecież sam napisałeś rozwiązanie formalnie w swoim poprzednim poście. Chodzi o to, żebyś nie męczył się z podstawieniem \(\displaystyle{ z=x+yi}\), tylko "zauważył sprytnie..." i potrafił to uzasadnić.