W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:

[Macple]

\(\displaystyle{ 2z^{3}i^{3}=\frac{(i-1)^{3}}{1+i}}\)

Czy ktoś mógłby mi doradzić w jaki sposób się za to zabrać?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ i^{3}=-i}\) Dzielimy obustronnie przez -2i i

[fon_nojman]

Oblicz \(\displaystyle{ (i-1)^3.}\)

[Macple]

Przeczytałem wasze wskazówki i doszedłem to czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 2z^{3}i^{3}=\frac{(i-1)^{3}}{1+i} \qquad /przeksztalcam \ rownanie \ z \ szescianu \ roznicy \ i\ i^{3}=-i \\
\\
-2z^{3}i=\frac{2i+2}{i+1} \qquad/ -2i) \\
\\
z^{3}=\frac{2i+2}{-2i+2} \\
\\
z^{3}=-1}\)

Czy o to chodziło? Teraz mam to policzyć z tego, że \(\displaystyle{ z=(x+yi)}\)?

[Crizz]

\(\displaystyle{ \frac{2i+2}{-2i+2}\neq-1}\)

Potem możesz rozłożyć na czynniki, albo skorzystać ze wzoru na pierwiastki \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z liczby zespolonej. Szkoda czasu na podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\).

[Macple]

Było późno i to -1 jakieś takie oczywiste mi się wydawało.
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{2i+2}{-2i+2}
\\
\\
z^{3}=\frac{(2+2i)(2+2i)}{(2-2i)(2+2i)}
\\
\\
z^{3}=\frac{8i}{8}
\\
\\
z^{3}=i}\)

Czy tak lepiej?
I dalej z pierwiastków?

[fon_nojman]

Tak, tak.

PS: \(\displaystyle{ z^{3}=\frac{2i+2}{-2i+2}}\) mogłeś skrócić tą dwójkę

[Macple]

No tak, ale przy tak małych liczbach to jeszcze nie robi różnicy

Czyli teraz jadę z pierwiastków:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)
\\
\\
z_{0}=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)
\\
\\
z_{1}=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8}\right)
\\
\\
z_{2}=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8}\right)
\\
\\
z_{3}=\sqrt[3]{1}\left(\cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}\right)}\)

Coś takiego miało wyjść? Te wartości cosinusów i sinusów jakoś trzeba obliczać czy po prostu zostawić?

[abc666]

A jak to możliwe, że masz 4 pierwiastki?

[Macple]

A tego się tak nie liczy, że rozpisujesz wszystkie stopnie pierwiastka aż do szukanego?

[abc666]

Nie. Poczytaj jeszcze o tym.

W tym przypadku można prościej. Zauważ, że jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ -i}\) a pozostałe uzyskujemy po obrocie o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) stopni tj. poprzez pomnożenie przez \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}}\)

[Macple]

Zakładam, że masz dużo większą wiedzę na ten temat ode mnie ale jak patrze w swoje notatki to za każdym razem gdy pojawia się pierwiastek z liczby zespolonej mam w rozwiązane w sposób, który zaprezentowałem.
Wiem, że wikipedia nie zawsze ma rację, ale zamieszczam cytat z niej:

Istnieje wersja wzoru de Moivre'a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona z ma dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia, które wyrażają się wzorem:

\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{\left|z\right|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) \qquad, \ k=0,1,2,...,n-1}\)

Ja się nie upieram przy tym sposobie, bo to ja mam egzamin do poprawienia, a nie Ty
Jeżeli nadal twierdzisz, że źle to zrobiłem to prosiłbym chociaż żebyś napisał w jakich sytuacjach ten wzór powinienem stosować i dlaczego nie w tym przypadku.

[aalmond]

zobacz na zakres \(\displaystyle{ k}\)

[Macple]

zobacz na zakres \(\displaystyle{ k}\)

Ja mam zobaczyć na zakres k czy abc666?

[aalmond]

\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{2i+2}{-2i+2} = i = \cos \frac{ \pi }{2} + i \cdot \sin \frac{ \pi }{2}}\)

I teraz możesz zastosować swój wzór