Dowód okresowości funkcji exp(z).

[Insol3nt]

Witam wszystkich użytkowników.
Prosiłbym o sprawdzenie mojego dowodu na to, że funkcja \(\displaystyle{ e^z}\) jest okresowa.

\(\displaystyle{ f(z)=f(z+T)}\)
T= okres

\(\displaystyle{ z= x+iy\\
f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^x( \cos ( y)+i \sin ( y) =e^x{ \cos ( y+2\pi)+i \sin ( y+2\pi))=e^{x}e^{i(y+2\pi)}= e^{x+iy+2i\pi}=}\)\(\displaystyle{ e^{z+\pi{2i} }= f(z+2i{\pi})}\)

[miki999]

Jest ok.


Pozdrawiam.

[Piotr Pstragowski]

Pozwolę sobie tylko zaznaczyć, że w pełni analityczny dowód, że \(\displaystyle{ \sin \text{ i }\cos}\) są okresowe jest nietrywialny.

[Rogal]

W pełni analityczny, to znaczy, że eksponentę traktujemy tylko jak odpowiedni szereg zespolony? Czyli nie korzystamy z okresowości rzeczywistych funkcji trygonometrycznych, tak?

[norwimaj]

Może trywialne to nie jest, ale też nie jest bardzo trudne. Z szacowania
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{2}<\cos x < 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\) i z własności Darboux kosinusa wiadomo, że istnieje \(\displaystyle{ x_0\in\left(\sqrt{2},\sqrt{6-2\sqrt{3}}\right)}\), takie że \(\displaystyle{ \cos x_0=0}\).

Z szacowania \(\displaystyle{ \sin x>x-\frac{x^3}{6}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy dodatkowo \(\displaystyle{ \sin x_0 > 0}\) i dzięki jedynce trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin x_0=1}\).

Zatem \(\displaystyle{ \exp (ix_0) = i}\), czyli \(\displaystyle{ \exp (4ix_0) = 1}\) dzięki czemu liczba \(\displaystyle{ 4ix_0}\) jest okresem eksponenty.

Wykorzystane tu fakty to

• \(\displaystyle{ (\exp w)\cdot(\exp z) = \exp (wz)}\) (to chyba najtrudniejsze)
• Ciągłość kosinusa.
• Szacowania. Można je wyprowadzić z tw. Lagrange'a albo bezpośrednio szacując szeregi, korzystając z nierówności
  \(\displaystyle{ \frac{x^4}{4!}>\frac{x^6}{6!}>\frac{x^8}{8!}>\ldots}\) oraz
  
  \(\displaystyle{ \frac{x^5}{5!}>\frac{x^7}{7!}>\frac{x^9}{9!}>\ldots}\)
  
  dla \(\displaystyle{ x\in(0,\sqrt{30})}\).
  (Wystarczą nam te nierówności dla \(\displaystyle{ x\in(0,\sqrt{30})}\).)
• Jedynka trygonometryczna. Żeby ją pokazać, wystarczy rozpisać wyrażenie
  \(\displaystyle{ \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\right)^2+\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2}\).

[Rogal]

Taki dowód to znam. Trzeba więc czekać, co autor miał na myśli, pisząc "analityczny".

[Insol3nt]

czyli jest mi to potrzebne, czy nie?...

[Rogal]

Nie no, dopóki ktoś akurat tego nie zażąda od Ciebie, to możesz się posługiwać "znanymi" faktami, z których zresztą skorzystałeś.