Położenie liczby zespolonej na płaszczyźnie.

skolukmar · Post autor: **skolukmar** » 17 sie 2011, o 16:32

Cześć,

Mam problem z zadaniami:

(a) Liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) leży na okręgu \(\displaystyle{ | z - (2+2i) | =1}\). Czy wynika stąd, że (1) \(\displaystyle{ \Re(z^2) > 0}\) i (2) \(\displaystyle{ \Im(z^2) > 0}\) ?

Wg mnie: Zbiór liczb \(\displaystyle{ z}\) spełniających równanie to okrąg to środku w \(\displaystyle{ (2,2)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Liczby zespolone są postaci: \(\displaystyle{ z = \pm \sqrt{1-(b-2)^2} + (b-2)i}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le b \le 3}\), więc \(\displaystyle{ \Re(z^2) = 1}\) oraz o \(\displaystyle{ \Im(z^2)}\) nie możemy powiedzieć, że jest dodatnia.
Czyli moja odp to (1) tak, (2) nie.
Gdzie jest błąd w moim myśleniu ?

(b) Jest zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) takich, że \(\displaystyle{ z^6 = z^{10} = 1}\). Wg mnie ten zbiór ma tylko 2 elementy i są to. \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) - tak ?

Proszę o pomoc / wskazówki.
Z góry dzięki

Lorek · Post autor: **Lorek** » 17 sie 2011, o 16:50

a) może najlepiej poszukać kontrprzykładu (tam, gdzie się da)?
b) tak

skolukmar · Post autor: **skolukmar** » 17 sie 2011, o 18:50

(a) Ale jeśli chodzi o ogólny schemat myślenia, to gdzie jest błąd ? (Bo wiem, że jest, ale nie widzę go)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 17 sie 2011, o 19:00

No na przykład ta postać \(\displaystyle{ z}\) jest niepoprawna (wystarczy chociażby wziąć \(\displaystyle{ b=3}\))

skolukmar · Post autor: **skolukmar** » 17 sie 2011, o 19:20

(a) Dlaczego postać \(\displaystyle{ z}\) jest niepoprawna ?

Jesli chodzi o kontrprzykład
(1) \(\displaystyle{ z = 1 + 2i}\) pokazuje, że NIE
(2) \(\displaystyle{ z = a+bi, a, b > 1 > 0}\) pokazują, że \(\displaystyle{ Im(z^2) = 2ab > 0}\)

aalmond · Post autor: **aalmond** » 17 sie 2011, o 19:32

\(\displaystyle{ z = a + bi \ \ \ (^1) \\ \\
| z - (2+2i) | =1 \\ \\
(a-2) ^{2} + (b-2) ^{2} =1 \\}\)

skolukmar,wylicz z tego np. \(\displaystyle{ a}\) i wstaw do \(\displaystyle{ (^1)}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 17 sie 2011, o 19:33

No i ok, tylko trzeba jeszcze pokazać, że \(\displaystyle{ a,b\ge 1}\) albo \(\displaystyle{ a,b>0}\)

A jak wstawisz \(\displaystyle{ b=3}\) do twojej postaci to masz \(\displaystyle{ z=i}\) czyli masz \(\displaystyle{ |i-(2+2i)|=|-2-i|\neq 1}\)

frej · Post autor: **frej** » 17 sie 2011, o 19:36

Zawsze można też zinterpretować to geometrycznie. Podniesienie do kwadratu skutkuje podwojeniem kąta między osią rzeczywistą i odpowiednim wektorem.

skolukmar · Post autor: **skolukmar** » 17 sie 2011, o 20:45

Dziękuję Wam za pomoc !