Matematyka.pl

Witam,
chciałbym prosić o pomoc w odnalezieniu dowodu poniższej tożsamości - może ktoś spotkał w jakiej literaturze, bądź materiałach elektronicznych.

\(\displaystyle{ \frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right)}\)

Jeśli ktoś jest w stanie sam udowodnić oczywiście też może być.

Dodam, że trzy tomy Fichtenholz'a,
"Funkcje zespolone" i "Rachunek roż..." Leji przejrzane.
Niestety bez powodzenia, stąd prośba o pomoc.

Ja to bym wziął indukcyjnie , ewentualnie na pałę pokazać że L=P przekształcając którąś ze stron, najłatwiej chyba P--> L

Pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ (z-1)}\) i zauważ, że po prawej masz wielomian \(\displaystyle{ z^n-1}\), a po prawej jego rozkład na pierwiastki, czyli iloczyn po \(\displaystyle{ (z-z_i)}\), gdzie \(\displaystyle{ z_i}\) przebiega kolejne n-te pierwiastki z jedności (zapisane w postaci trygonometrycznej).

(To jest tylko przypadek twierdzenia Bezout).

Piotr Pstragowski pisze:po lewej masz wielomian \(\displaystyle{ z^n-1}\), a po prawej jego rozkład na pierwiastki

Czyli wychodząc od
\(\displaystyle{ z^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right),}\)

mamy

\(\displaystyle{ z^n-1=(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right),\\
\frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left( z-\cos \frac{2k\pi}{n} - i \sin \frac{2k\pi}{n}\right).}\)

Zgadza się?

Ok.

Wielkie dzięki Piotrze.

Pozdrawiam.