przekształcenie iloczynu

[kamilo_han]

Witam,
czy ktoś wie może, jakie przejścia trzeba wykonać aby przekształcając iloczyn po lewej, dojść do iloczynu po prawej

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1}\left| 1-\cos \frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}\right|=\ \ ???\ \ =2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}}\)?

Czyli co powinno się znaleźć w miejscu "???", aby równość była bardziej jasna?

[aalmond]

Jeżeli \(\displaystyle{ z = 1 - \cos \frac{2k \pi }{n} - i \sin \frac{2k \pi }{n}}\), to:
\(\displaystyle{ |z| = 2 \cdot \sin \frac{k \pi }{n}}\)

[kamilo_han]

Mając w głowie wczorajszą podpowiedź policzyłem ten moduł dla \(\displaystyle{ z=(1-\cos x) - i \sin x.}\)
Czy dobrze to zrobilem?

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1}\left| 1-\cos \frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}\right|= \prod_{k=1}^{n-1} \sqrt{\left(1-\cos \frac{2k\pi}{n}\right)^2 + \left(\sin\frac{2k\pi}{n}\right)^2} = \\
= \prod_{k=1}^{n-1} \sqrt{2-2\cos \frac{2k\pi}{n}}= \prod_{k=1}^{n-1} 2 \sqrt{\frac{1-1\cos \frac{2k\pi}{n}}{2}} =2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}}\)

[miodzio1988]

wygląda ok

[kamilo_han]

Dzięki Panowie!