Strona 1 z 1

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 20:18
autor: BlueSky
Liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\).
1. Czy wynika stąd, że ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) dąży do \(\displaystyle{ 1}\)?
2. Dlaczego nie wynika stąd, że istnieje liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ n}\), taka że \(\displaystyle{ z^n=1}\)?

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 21:11
autor: szw1710
2. Bo wszystkich pierwiastków z 1 jakiegokolwiek stopnia jest przeliczalnie wiele, a okrąg jest zbiorem nieprzeliczalnym.

1. Nie. Np. \(\displaystyle{ z=-1.}\)

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 21:25
autor: BlueSky
A dlaczego wynika stąd, że ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) jest ograniczony?
I czy jest jakieś prostsze wyjaśnienie tego 2? Może jakiś kontrprzykład?

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 21:39
autor: szw1710
Według mnie wyjaśnienie 2. jest najprostsze z możliwych.

Ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) jest ograniczony, bo \(\displaystyle{ |z^n|=|z|^n=1.}\)

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 23:03
autor: Lorek
A kontrprzykład w 2. też łatwo znaleźć i to niejeden. Skoro \(\displaystyle{ |z|=1}\) to tę liczbę można zapisać w takiej postaci \(\displaystyle{ z=\cos t+i\sin t}\). Wystarczy się zastanowić dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) liczba \(\displaystyle{ (\cos t+i\sin t)^n}\) nigdy nie będzie jedynką.

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 23:07
autor: pyzol
Czyli interpretacja geometryczna, bo mnożąc tę liczbę przez siebie przesuwamy się po łuku o pewną długość. Wystarczy więc, że będziemy kroczyć np. co 1, to na \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) idealnie nie stąpniemy.

modul liczby zespolonej

: 22 lip 2011, o 23:10
autor: szw1710
Lorek,

Jasne. I nie ma tu odwołania do teorii mnogości. Ale i w moim wyjaśnieniu jest kawałek ładnej algebry. Nie chciałem o tym pisać, ale mamy tam przecież (zespolone) liczby algebraiczne. Też jest ich przeliczalnie wiele. Pierwiastki z jedynki są liczbami algebraicznymi. Swoją drogą, pewnie nietrudno podać liczbę przestępną \(\displaystyle{ z}\) taką, że \(\displaystyle{ |z|=1.}\) Uwaga: wielomianem minimalnym liczby algebraicznej leżącej na okręgu jednostkowym niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ z^n-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n.}\)

Sam sobie odpowiem Liczby algebraiczne stanowią ciało. Więc biorąc dowolną liczbę przestępną \(\displaystyle{ z}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{z}{|z|}}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1}\) i jest przestepna, gdyż inaczej po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ |z|}\) mielibyśmy liczbę algebraiczną wbrew założeniu.

Błąd w rozumowaniu: np. dla \(\displaystyle{ z=e}\) nie da się tego zatosować. \(\displaystyle{ |z|}\) musiałby być liczbą algebraiczną. Jednak zostawiam to, bo może się przyda w rozwiązaniu rzuconego przeze mnie problemu.

modul liczby zespolonej

: 23 lip 2011, o 11:21
autor: Lorek
Można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ e^a}\) dla \(\displaystyle{ a}\) algebraicznego jest przestępne, choć też się ograniczamy tylko do pewnej grupy liczb.