funkcje wielokrotności kątów - wzór de Moivre'a

[wiskitki]

Wyrazić w postaci wielomianów od \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) funkcje: a) \(\displaystyle{ \cos 3x}\) b) \(\displaystyle{ \sin 4x}\)
Nie bez powodu zamieściłem temat w tym dziale, trzeba to jakoś zrobić przy pomocy liczb zespolonych...

poprawa nazwy tematu

[Chromosom]

skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

[Funktor]

Albo z postaci wykładniczej funkcji trygonometrycznej.

[wiskitki]

Czyli np \(\displaystyle{ \sin 3x}\) to inaczej \(\displaystyle{ \frac{e^{3ix}-e^{-3ix}}{2i}}\) i teraz nie mam pojęcia jak zrobić z tego wielomian, o ile dobrze to robię

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \frac{e^{3\mathrm ix}-e^{-3\mathrm ix}}{2\mathrm i}=-4\left(\frac{e^{\mathrm ix}+e^{-\mathrm ix}}{2\mathrm i}\right)^3+\,\ldots}\)
dobierz teraz wyrażenie oznaczone za pomocą trzech kropek tak, żeby zachodziła równość. Alternatywną metodą jest zapisanie równości:
\(\displaystyle{ \left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^3=\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)^3}\)
i skorzystanie ze wzoru de Moivre'a po lewej stronie oraz wymnożenie nawiasu po prawej stronie.

[wiskitki]

A jest jakiś łatwy sposób żeby znaleźć to brakujące wyrażenie? Raczej tak natychmiast sie na to nie wpadnie, trzeba troszkę pomyśleć ..

[Majeskas]

Moim zdaniem jednak najprościej z de Moivre'a:

\(\displaystyle{ \cos3x+i \sin3x=\left( \cos x+i \sin x\right)^3}\)

W takim razie:

\(\displaystyle{ \cos 3x=\Re \left(\left( \cos x+i \sin x\right)^3 \right)}\)

Rozpisujesz dwumian Newtona, bierzesz część rzeczywistą (w przypadku sinusa część urojoną) i masz, co trzeba.