liczby zespolone - sześciokąt foremny

[BlueSky]

Na płaszczyźnie zaznaczono punkty odpowiadające liczbom zespolonym \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6}\). Okazało się, że otrzymane punkty są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego o boku 1. Niech \(\displaystyle{ w= \frac{1}{6}(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6)}\).
Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{z_2-w}{z_1-w}\cdot\frac{z_5-w}{z_1-w}=1}\)?

Ja rozwiązywałam to zadanie tak:
Najpierw obliczyłam wartości tych liczb zespolonych i wyszło:
\(\displaystyle{ z_1=1}\)
\(\displaystyle{ z_2= \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt3}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_3= -\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt3}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_4= -1}\)
\(\displaystyle{ z_5= -\frac{1}{2}- \frac{\sqrt3}{2}i}\)
\(\displaystyle{ z_6= \frac{1}{2}- \frac{\sqrt3}{2}i}\).

Z tego wyszło, że \(\displaystyle{ w=0}\).

\(\displaystyle{ \frac{z_2-w}{z_1-w}\cdot\frac{z_5-w}{z_1-w}=z_2\cdot z_5=\frac{1}{2}- \frac{\sqrt3}{2}i \neq 1}\)

Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[szw1710]

Błąd jest w samej metodzie. Nieważne, że nie wyszło Ci 1. Mogłaś po prostu pomylić się w rachunkach i już.

Czy w zadaniu powiedziano, że środkiem okręgu opisanego na sześciokącie jest 0? Druga rzecz, nikt nie powiedział, że muszą to być pierwiastki z jedynki. Możesz wystartować od innego punktu \(\displaystyle{ z_1}\) i też wziąć odpowiedni sześciokąt. Zadanie trzeba rozwiązać w tej ogólności. Gdzie geometrycznie leży średnia arytmetyczna wierzchołków sześciokąta foremnego? To jego środek ciężkości, więc środek okręgu opisanego na tym sześciokącie. Więc zadanie dotyczy pewnie niekoniecznie okręgu o środku w zerze - inaczej rzecz się upraszcza: masz wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{z_2z_5}{z_1^2}=1.}\) Skorzystasz z symetrii i powinno wyjść. Lecz zadanie może być ciekawsze w przypadku przesunięcia okręgu. Ale wtedy translacja sprawę załatwi - o ile teza jest prawdziwa.

[BlueSky]

Niestety nie widzę zbytnio, jak mogłabym zastosować tę symetrię... A poza tym zastanawia mnie, dlaczego, skoro ma to zachodzić dla ogółu, nie zachodzi dla mojego przypadku? Rachunki powinny być dobre... (No chyba, że tego nijak nie można pokazać na liczbach, a tylko geometrycznie.)

[szw1710]

Rachunki w istocie wydają się poprawne. Więc teza nie jest prawdziwa. Zobacz czy dobrze przepisałaś treść zadania.

[BlueSky]

Dobrze przepisałam. A czy w związku z tym mógłbyś mi rozjaśnić trochę z tą symetrią? Bo ja już to zadanie próbowałam rozwiązać przy pomocy wektorów, ale niezbyt mi to wychodziło...

[szw1710]

Jak te kolejne wierzchołki interpretować? W prawo czy w lewo? Ale narysuj sobie sześciokąt i zobacz na symetrie. \(\displaystyle{ z_2}\) i \(\displaystyle{ z_5}\) leżą na średnicy okręgu. Więc np. \(\displaystyle{ \frac{z_2+z_5}{2}=w}\). Ale skoro rachunki masz poprawne, to teza nie zachodzi i nie ma co się więcej zastanawiać.

[BlueSky]

No tak, tylko że to jednak musi zachodzić, bo taka jest prawidłowa odpowiedź....

[szw1710]

No tak, tylko że to jednak musi zachodzić, bo taka jest prawidłowa odpowiedź....

Z książki... nie zawsze są prawidłowe.

[BlueSky]

Nie. Nie z książki. Te zadania i odpowiedzi są układane u nas przez wykładowców, więc wątpię, żeby się pomylili.

[pyzol]

Być może chodziło im o \(\displaystyle{ z_6}\)...
Zadanie sprowadza się do takiego równania:
\(\displaystyle{ (z-\omega)^6=r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\\
z_1=\sqrt[6]{r}\left(\cos\alpha+i\sin\alpha \right)+\omega\\
z_2=\sqrt[6]{r}\left(\cos(\alpha+\pi/3)+i\sin(\alpha+\pi/3) \right)+\omega\\
\vdots\\
z_6=\sqrt[6]{r}\left(\cos(\alpha+5\pi/3)+i\sin(\alpha+5\pi/3) \right)+\omega\\
\alpha=\frac{\varphi}{6}}\)
Z tego mamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{z_2 z_6}{z_1^2}=\frac{\left(\cos(2\alpha+6\pi/3)+i\sin(2\alpha+6\pi/3) \right)}{\cos 2\alpha+i\sin 2\alpha }}\)
Proszę sprawdzić rachunki...

[BlueSky]

Hm... Dzięki Jeżeli byłoby to \(\displaystyle{ z_6}\) no to faktycznie by zachodziło, nawet tym moim pierwszym sposobem. Więc chyba trzeba przypuszczać, że jest to błąd w druku i zostaliśmy wpuszczeni w maliny...

[pyzol]

Mogła być zwykła literówka, zdarzają się...
A twój sposób, to jest jedynie specyficzny przypadek, tak jak napisał szw1710, nie możesz takim sposobem udowadniać... Natomiast jest wystarczający do obalenia tezy, która to ma zachodzić dla ogółu...
ps, Ostatni mój zapis jest zły powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{z_2-\omega}{z_1-\omega}\cdot\frac{z_5-\omega}{z_1-\omega}=...}\)

[BlueSky]

\(\displaystyle{ \frac{z_2-\omega}{z_1-\omega}\cdot\frac{z_5-\omega}{z_1-\omega}=...}\)

A nie przypadkiem \(\displaystyle{ \frac{z_2-\omega}{z_1-\omega}\cdot\frac{z_6-\omega}{z_1-\omega}=...}\)?

[pyzol]

Tak
Dlatego sprawdź sobie powoli wszystko co i jak, bo jestem dzisiaj trochę niemrawy

[BlueSky]

Ok. Ogromne dzięki za pomoc.