obliczenia na liczbach zespolonych

[zabaw]

Mógłby ktoś policzyc to od a do z ?

\(\displaystyle{ z ^{3} - 4 \cdot \frac{(1-i) ^{2} }{i ^{3} } = 0}\)

[Juankm]

\(\displaystyle{ z ^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} }{i ^{3} } = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} }{ i^{3}} \cdot \frac{i}{i} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} \cdot i}{i^{2} \cdot i^{2}} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} \cdot i}{(-1) \cdot (-1)} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 [(1-i) ^{2} \cdot i ] = 0 \\ \\ z^{3} = 4 [(1-i) ^{2} \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(1 - 2i + i^{2}) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(1 - 2i - 1) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(- 2i) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [-2 i^{2} ] \\ \\ z^{3} = 4 [(- 2) \cdot (-1) ] \\ \\ z^{3} = 8 \\ \\ z=2}\)

[zabaw]

Dzieki A nie trzeba zastosowac tu wzoru de-moivrea ? Jezeli nie to w jakich przypadkach go używamy ?

[Majeskas]

Wtedy, gdy ma to sens. Np. gdy podnosimy liczbę zespoloną do wysokiej potęgi.

[Juankm]

Skasowałem swój post, bo było źle, a nie mam czasu teraz dopisywać.

[Dasio11]

Fajny wykład, ale równanie \(\displaystyle{ z^3=8}\) ma trzy rozwiązania, a do ich wyznaczenia potrzebny jest właśnie wzór de Moivre'a.
Podobnie, wzór z (4) nie działa z argumentem głównym, tylko ze wszystkimi \(\displaystyle{ n}\) różnymi argumentami, dając \(\displaystyle{ n}\) wyników.

[Juankm]

Poprawiam po komentarzu Dasia.

\(\displaystyle{ z ^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} }{i ^{3} } = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} }{ i^{3}} \cdot \frac{i}{i} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} \cdot i}{i^{2} \cdot i^{2}} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 \frac{(1-i) ^{2} \cdot i}{(-1) \cdot (-1)} = 0 \\ \\ z^{3} - 4 [(1-i) ^{2} \cdot i ] = 0 \\ \\ z^{3} = 4 [(1-i) ^{2} \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(1 - 2i + i^{2}) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(1 - 2i - 1) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [(- 2i) \cdot i ] \\ \\ z^{3} = 4 [-2 i^{2} ] \\ \\ z^{3} = 4 [(- 2) \cdot (-1) ] \\ \\ z^{3} = 8 \\ \\ z^3=|z^{3}| [\cos(\alpha) + i \sin(\alpha)]=8[\cos(0) + i \sin(0)]}\)

Wzór na pierwiastkowanie liczb zespolonych, wynikający z wzoru De Moivre'a mówi, że każda liczba zespolona ma n pierwiastków n-tego stopnia. W naszym przypadku będą to 3 piewiastki, według wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}= |z^{3}|^{\frac{1}{3}} [\cos(\frac{\alpha + 2k \pi}{n}) + i\sin(\frac{\alpha + 2k \pi}{n}) ], \ \ k=0,1,2 \\ \\ \begin{cases}z_{0}=|8|^{\frac{1}{3}} [\cos(\frac{0 + 0 \pi}{3}) + i\sin(\frac{0 +0 \pi}{3}) ] \\ z_{1}=|8|^{\frac{1}{3}} [\cos(\frac{0 + 2 \pi}{3}) + i\sin(\frac{0 + 2 \pi}{3}) ] \\ z_{2}= |8|^{\frac{1}{3}} [\cos(\frac{0 + 4 \pi}{3}) + i\sin(\frac{0 + 4 \pi}{3}) ]\end{cases}}\)

[Crizz]

Można to też zrobić w miarę prosto bez uciekania się do wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej:

\(\displaystyle{ z^3-8=0\\
z^3-2^3=0\\
(z-2)(z^2+2z+4)=0}\)

i drugi nawias potraktować jak zwykłe równanie kwadratowe.