wartość bezwzględna w ciele liczb zespolonych

[krotka]

Jak udowodnić poniższe własności w ciele liczb zespolonych:

1) \(\displaystyle{ |x|=|y| \Leftrightarrow x^{2}=y ^{2}}\)

2) \(\displaystyle{ |x \cdot y|=| |x| \cdot |y| |}\)

3) \(\displaystyle{ |x|+|x|=|x+x|}\)

?

[miodzio1988]

Prosto z definicji np?

[pyzol]

hmm pierwszą dobrze przepisałaś?

[krotka]

dobrze przepisałam pierwsze,
a w każdym z tych podpunktów trzeba wziąć pod uwagę dwa przypadki że: \(\displaystyle{ a+bi>0}\) oraz \(\displaystyle{ a+bi<0}\) czy oddzielnie muszę rozpatrywać \(\displaystyle{ a>0}\),\(\displaystyle{ b>0}\); \(\displaystyle{ a<0}\), \(\displaystyle{ b>0}\)itd?

[miodzio1988]

Od kiedy to liczby zespolone nierzeczywiste mogą mieć jakiś znak??

[krotka]

no tak...racja...czyli muszę rozpatrywać przypadki \(\displaystyle{ a>0}\), \(\displaystyle{ b>0}\) itd?

[miodzio1988]

Nie . Musisz skorzystać z definicji dla modułu

[krotka]

no tak, dziękuję

[Dasio11]

Pierwsza własność nieprawdziwa, np. dla \(\displaystyle{ x=1, y= \mathrm i}\) jest

\(\displaystyle{ |x|=|y|=1,}\) ale \(\displaystyle{ x^2 \neq y^2}\)