Matematyka.pl

Witam!

Mam do policzenia taką sumę:

\(\displaystyle{ \cos x+\cos2x+\cos3x+...+\cos{ \left( nx \right) }=?}\)
Robię z tego:
\(\displaystyle{ Re \left( \cos x+i\sin x+\cos2x+i\sin2x+\cos3x+i\sin3x+...\cos \left( nx \right) +i\sin \left( nx \right) =}\)
\(\displaystyle{ Re \left( e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+...+e^{nix} \right)=Re \left( e^{ix} \right) \left( 1+e+e^2+e^3+...+e^n \right) =Re \left( e^{ix} \right) \left( \frac{1-e^n}{1-e} \right)}\)

I dalej już nie mam na to pomysłu. Jak to teraz jakoś ładnie przedstawić? Czy w ogóle w dobrym kierunku idę?

Z góry dzięki za pomoc

Źle wyłączyłeś przed nawias:

\(\displaystyle{ \left( e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+...+e^{nix} \right) \neq \left( e^{ix} \right) \left( 1+e+e^2+e^3+...+e^n \right)}\)

No tak. W takim razie takie wyjmowanie przed nawias wiele nam nie da. Zostajemy więc z czymś w rodzaju:

\(\displaystyle{ e^{ix} \left( \frac{1-e^{nix}}{1-e^{ix}}\right)}\). I co z tym?

Najbardziej schematyczną metodą będzie zamiana z powrotem na postać trygonometryczną i wyznaczenie części rzeczywistej (usuwamy nierzeczywistość z mianownika itp.).
Można też zastosować pewien trick, choć nie wiem, czy rzeczywiście ułatwi to obliczenia. Można bowiem w mianowniku zamienić funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ x}\) według wzorów

\(\displaystyle{ \cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \\ \\
\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\)

co uprości sprzężenie mianownika.
Jeśli chcesz, mogę również napisać łatwiejszą metodę wyprowadzenia wzoru na tę sumę, która nie korzysta z liczb zespolonych, chociaż rozumiem, że polecenie zadania wymaga ich użycia.

Bez zespolonych to ja sobie policzyłem Faktycznie, chodzi o to, żeby ich użyć Z trygonometrii wychodzi dosyć łatwo. Ale dzięki za pomoc Z tym że jak liczę teraz część rzeczywistą po podstawieniu powrotnym funkcji trygonometrycznych, to jakoś mi nie wychodzi :/ Ale może robię błąd w obliczeniach

Jeśli pokażesz tu swoje obliczenia, to ci je sprawdzę.

Podepnę się

\(\displaystyle{ e^{ix}\left(\frac{1-e^{nix}}{1-e^{ix}}\right)=\frac{e^{ix}-e^{(n+1)ix}}{1-e^{ix}}}\)

Podstawiam trygonometrię:

\(\displaystyle{ e^{ix}= \cos x +i \sin x}\)
\(\displaystyle{ e^{(n+1)ix}= \cos ( (n+1)x)+i\ \sin ( (n+1)x)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos x +i \sin x - \cos ( (n+1)x)-i\ \sin ( (n+1)x)}{(1- \cos x )-i \sin x }}\)

Mnożę przez sprzężenie i po upraszczaniu wychodzi mi: (napiszę już tylko część rzeczywistą, bo urojona i tak a nic się nie przyda)

\(\displaystyle{ \frac{ \cos x - \cos ( (n+1)x)-1+\ \cos ( (n+1)x) \cos x + \sin ( (n+1)x) \sin x }{2(1+ \cos x )}}\)

Troszkę przydługo. Ale Wolfram Alpha się ze mną zgadza Jak liczyłem to bez liczb zespolonych to wyszedł bardzo ładny ułamek i nijak nie widzę, jak to do niego skompresować.

Mianownik powinien wynosić \(\displaystyle{ 2(1- \cos x).}\)

W następujący sposób można dojść do nieco krótszego wyniku:

\(\displaystyle{ \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots + \cos nx + \mathrm i \left( \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \cdots + \sin nx \right) = \\ \\ \\
= e^{\mathrm ix} \cdot \frac{1- e^{n \mathrm ix}}{1-e^{\mathrm ix}} = e^{\mathrm ix} \cdot \frac{1- \cos nx - \mathrm i \sin nx}{1- \cos x - \mathrm i \sin x} = e^{\mathrm ix} \cdot \frac{1- \left( \cos^2 \frac{nx}{2} - \sin^2 \frac{nx}{2} \right) - \mathrm i \cdot 2 \sin \frac{nx}{2} \cos \frac{nx}{2} }{1- \left( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \right) - \mathrm i \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \\ \\
= e^{\mathrm ix} \cdot \frac{2 \sin^2 \frac{nx}{2} - \mathrm i \cdot 2 \sin \frac{nx}{2} \cos \frac{nx}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2} - \mathrm i \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = e^{\mathrm ix} \cdot \frac{2 \sin \frac{nx}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} \cdot \left( \frac{ \sin \frac{nx}{2} - \mathrm i \cos \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2} - \mathrm i \cos \frac{x}{2}} \cdot \frac{\mathrm i}{\mathrm i} \right) = \\ \\ \\
= e^{\mathrm ix} \cdot \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{ \cos \frac{nx}{2} + \mathrm i \sin \frac{nx}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \mathrm i \sin \frac{x}{2}} = e^{\mathrm ix} \cdot \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot e^{\mathrm i \frac{n-1}{2} \cdot x} = e^{\mathrm i \cdot \frac{n+1}{2} \cdot x} \cdot \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \\ \\ \\
= \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \cos \left( \frac{n+1}{2} \cdot x \right) + \mathrm i \cdot \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \sin \left( \frac{n+1}{2} \cdot x \right)}\)

Otrzymujemy tu jednocześnie wzór na sumę sinusów oraz wzór na sumę cosinusów, przyrównując odpowiednio części urojone i rzeczywiste.

Witam,

Ja mam natomiast pytanie, jak wykazać, że :
\(\displaystyle{ Re \left( e^{ix} \right) \left( 1+e+e^2+e^3+...+e^n \right) =Re \left( e^{ix} \right) \left( \frac{1-e^n}{1-e} \right)}\)
Znalazłem tą podpowiedź w zbiorze zadań Kostrikina, ale nie widzę skąd ona się bierze. Z góry dziękuję.

Drugi nawias sumujesz po prostu jako ciąg geometryczny.

Ooo, już trochę po fakcie, ale fajnie jest robić na ?

witam,
pozostając w tych "klimatach": czy mógłby ktoś przedstawić obliczenia sumy tej samej postaci, ale dla sinusów? (bez liczb zespolonych)