obliczyć pierwiastek z jedności

[dżi-unit]

\(\displaystyle{ \sqrt[5]{1}}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ x=\sqrt[5]{1} \\
Z=1+0i \\
\cos \varphi = \frac{1}{ \sqrt{1^2+0^2} }=1 \\
\sin\varphi = 0 \\
\varphi =0 \\
W_1=\cos \left( \frac{0+2\pi}{5} \right)+i\sin \left( \frac{2\pi}{5} \right) \\
W_2=\ldots}\)
Ale wartości tego znajdziesz jedynie w przybliżeniu...

[dżi-unit]

W poleceniu mam: oblicz pierwiastki z jedności: \(\displaystyle{ \sqrt[5]{1}}\),\(\displaystyle{ \sqrt[8]{1}}\).

A w odpowiedziach:
\(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{4}(-( \sqrt{5}+1 ) \pm i \sqrt{10-2 \sqrt{5} })}\), \(\displaystyle{ \frac{1}{4}(( \sqrt{5}-1 ) \pm i \sqrt{10+2 \sqrt{5} })}\), \(\displaystyle{ \pm 1}\), \(\displaystyle{ \pm i}\), \(\displaystyle{ \pm \frac{1}{2} \sqrt{2}(1+i)}\)

[Crizz]

Wszystko się zgadza, w odpowiedziach zakładają po prostu, że wiesz, iż \(\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\) itd.

[pan_x000]

\(\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}}\)

a można to jakoś łatwo wyprowadzić?

[ares41]

\(\displaystyle{ 1=\cos 2\pi+i \sin 2\pi= \left( \cos \frac{ 2\pi}{5} +i \sin\frac{ 2\pi}{5} \right) ^5= \sum_{k=0}^{5}{5 \choose k}i^k \cos^{5-k} \frac{ 2\pi}{5} \sin^k\frac{ 2\pi}{5}}\)
Wystarczy porównać części rzeczywiste i urojone obu stron powyższej równości.

[Dasio11]

Hm.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos^5 \frac{2 \pi}{5} - 10 \cos^3 \frac{2 \pi}{5} \sin^2 \frac{2 \pi}{5} + 5 \cos \frac{2 \pi}{5} \sin^4 \frac{2 \pi}{5}=1 \\ \\ 5 \cos^4 \frac{2 \pi}{5} - 10 \cos^2 \frac{2 \pi}{5} \sin^3 \frac{2 \pi}{5} + \sin^5 \frac{2 \pi}{5} = 0 \end{cases}.}\)

I co?

[ares41]

262408.htm#p4776594