obliczenia na liczbach zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

obliczenia na liczbach zespolonych

Post autor: dżi-unit »

moglibyście sprawdzić, czy jest dobrze?

a) \(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{ \sqrt{2} } \right) ^{26}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{ i\sqrt{2} }{2}= a+bi}\),
stąd
\(\displaystyle{ a=b= \frac{ \sqrt{2} }{2} \ , \ \ r=1}\)

\(\displaystyle{ a+bi=r(\cos{ \alpha} + i\sin{ \alpha} )\Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{26}=26 \left( \cos{26 \cdot \frac{ \pi }{4}} +i\sin{\frac{ \pi }{4}} \right)}\)

\(\displaystyle{ 26\cos{\left(26 \cdot \frac{ \pi }{4}\right)} = \frac{ \pi }{2}}\), wtedy

\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{26}=26i}\)


b) \(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{3}-i }{2})^{12}}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{i}{2} \right) ^{12}\ , \ \ r= \sqrt{ a^{2} + b^{2} } =1}\)
\(\displaystyle{ \cos {\alpha} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\),
\(\displaystyle{ \sin{ \alpha} =- \frac{1}{2}}\)
zatem \(\displaystyle{ \alpha =330}\)
\(\displaystyle{ (a +bi)^{12}=12 \left( \cos { \left( 12 \cdot 330 \right) }) + i\sin{ \left( 12 \cdot 330 \right) } \right) =12}\)
Ostatnio zmieniony 22 cze 2011, o 12:47 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji Latex'a. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Juankm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 14 cze 2011, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 28 razy

obliczenia na liczbach zespolonych

Post autor: Juankm »

Mnożąc dwie liczby zespolone mnożymy ich moduły i dodajemy argumenty dlatego powinno być:
\(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2}) ^{26}= 1^{26}(\cos26\frac{ \pi }{4} +i \sin26\frac{ \pi }{4})}\)
W drugim przykładzie analogicznie.
dżi-unit
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 13 paź 2008, o 18:01
Płeć: Kobieta

obliczenia na liczbach zespolonych

Post autor: dżi-unit »

ok ; )
ODPOWIEDZ