Oblicz:
\(\displaystyle{ (1+i)^{10}}\)
jak to obliczyć?
-
Cybran
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 5 lut 2011, o 08:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 1 raz
jak to obliczyć?
Hej!
Procedura zawsze jest podobna.
Najpierw liczysz sobie moduł z tej liczby, czyli będzie to:
\(\displaystyle{ \left| z\right | = \sqrt{1 ^{2}+1 ^{2} }= \sqrt{2}}\)
Potem patrzysz gdzie na osi liczbowej leży sobie ta liczba zespolona. Tu Ci tego nie narysuję bo się chyba nie da, ale to będzie pierwsza ćwiartka.
Teraz musisz policzyć argument główny, czyli kąt. W pierwszej ćwiartce to jest łatwe:
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)
Teraz pozostaje już tylko 2 rzeczy: zapisać liczbę zespoloną i podnieść do potęgi.
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left( cos \frac{ \pi }{4}+isin \frac{ \pi }{4} \right)}\)
A podniesienie do potęgi to prosta sprawa - po prostu
1) modul podnosisz do potęgi
2) kąty mnożysz razy wykladnik potęgi
czyli:
\(\displaystyle{ z ^{10}= \sqrt{2} ^{10}(cos(10 \frac{ \pi }{4})+isin(10 \frac{ \pi }{4} )}\)
Resztę juz sobie sam wyliczysz.
Mam nadzieję, ze nigdzie się nie walnąłem, ale tak to mniej-więcej wygląda
Procedura zawsze jest podobna.
Najpierw liczysz sobie moduł z tej liczby, czyli będzie to:
\(\displaystyle{ \left| z\right | = \sqrt{1 ^{2}+1 ^{2} }= \sqrt{2}}\)
Potem patrzysz gdzie na osi liczbowej leży sobie ta liczba zespolona. Tu Ci tego nie narysuję bo się chyba nie da, ale to będzie pierwsza ćwiartka.
Teraz musisz policzyć argument główny, czyli kąt. W pierwszej ćwiartce to jest łatwe:
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)
Teraz pozostaje już tylko 2 rzeczy: zapisać liczbę zespoloną i podnieść do potęgi.
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}\left( cos \frac{ \pi }{4}+isin \frac{ \pi }{4} \right)}\)
A podniesienie do potęgi to prosta sprawa - po prostu
1) modul podnosisz do potęgi
2) kąty mnożysz razy wykladnik potęgi
czyli:
\(\displaystyle{ z ^{10}= \sqrt{2} ^{10}(cos(10 \frac{ \pi }{4})+isin(10 \frac{ \pi }{4} )}\)
Resztę juz sobie sam wyliczysz.
Mam nadzieję, ze nigdzie się nie walnąłem, ale tak to mniej-więcej wygląda
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
jak to obliczyć?
Oczywiście można też to zrobić w inny sposób.
1. Za pomocą postaci wykładniczej.
2. Podnosząc najpierw do 2. potęgi, potem do czwartej, ósmej i w sumie zostaje tylko zapisać wynik
Pozdrawiam.
1. Za pomocą postaci wykładniczej.
2. Podnosząc najpierw do 2. potęgi, potem do czwartej, ósmej i w sumie zostaje tylko zapisać wynik
Pozdrawiam.