Przedstaw w postaci algebraicznej liczbę

[Draken]

Pomógłby mi ktoś zrobić taki przykład:

Przedstaw w postaci algebraicznej liczbę
\(\displaystyle{ 1-(1+i)+(1+i) ^{2}-(1+i) ^{3} +....-(1+i) ^{7}}\)

Za nic nie mogę tego rozgryźć !

[pipol]

\(\displaystyle{ =-6+3i}\)

[Draken]

Ale jak to policzyłeś?

[irena_1]

To suma ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego

\(\displaystyle{ a_1=1\\q=-(1+i)\\S_8=1\cdot\frac{1-[-(1+i)]^8}{1-[-(1+i)]}=\frac{1-(1+i)^8}{1+(1+i)}}\)

\(\displaystyle{ (1+i)^8=[\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})]^8=16(cos(\frac{\pi}{4})+i sin(\frac{\pi}{4})]^8=16(cos2\pi+i sin2\pi)=16(1+0)=16}\)

\(\displaystyle{ S_8=\frac{1-16}{2+i}=\frac{-15}{2+i}=a+bi\\2a+2bi+ai-b=(2a-b)+(a+2b)i=-15\\ \begin{cases} 2a-b=-15\\ a+2b=1 \end{cases} \\a=-5,8\ \wedge\ b=3,4}\)

\(\displaystyle{ -5,8+3,4i}\)

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b=-15\\ a+2b=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a+2b=0,}\) więc wynik pipola jest OK.

[irena_1]

No, tak, pomyliłam się.
Powinno być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a-b=-15 \\ a+2b=0 \end{cases} \\ \begin{cases} a=-6 \\ b=3 \end{cases} \\-6+3i}\)