Odwzorować płaszczyznę

[macik1423]

Witam, mam odwzorować półpłaszczyznę \(\displaystyle{ \Re z>0}\) za pomocą funkcji \(\displaystyle{ w=\ln z}\) to jest logarytm główny.
Robię to tak:

\(\displaystyle{ w=\ln z=\ln\left| z\right| +i\arg z}\)

\(\displaystyle{ \Re w=\ln\left| z\right|}\), \(\displaystyle{ \Im z=\arg z}\)

\(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2} \le \arg z \le \frac{\pi}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2} \le \Im w \le\frac{\pi}{2}}\) i nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ \ln\left| z\right|}\)
mój pomysł to określić \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) i potem zlogarytmować stronami, ale nie wiem jak określić \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), pomoże mi ktoś?

[octahedron]

\(\displaystyle{ 0 \le\left| z\right|\le \infty\Rightarrow -\infty\le\ln\left| z\right|\le\infty}\)

Mamy pas zawarty między \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Półokręgi o środku \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\) przekształcają się w proste \(\displaystyle{ x=\ln R}\), czyli okrąg o \(\displaystyle{ R=1}\) przechodzi w oś \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ R<1}\) proste leżą w lewej, dla \(\displaystyle{ R>1}\) w prawej półpłaszczyźnie. Natomiast proste przechodzące przez \(\displaystyle{ (0,0)}\) i nachylone do osi \(\displaystyle{ X}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) przechodzą w proste \(\displaystyle{ y=\alpha}\).