Rozwiązać równanie

[SeeMaxx]

Rozwiązać równanie.

\(\displaystyle{ z^{5}= \left| z\right| ^{2} , z\in C}\)

Bardzo proszę o pomoc

[Spektralny]

Zauważ, że \(\displaystyle{ |z|^2 = z \cdot \overline{z}}\). Oczywiście jednym z rozwiązań jest 0.

[Inkwizytor]

Zauważ, że \(\displaystyle{ |z|^2 = z \cdot |z|}\).

Co oczywiście jest błedem Pomyliłeś moduł ze sprzężeniem

[Spektralny]

Tak, to oczywiste.

[SeeMaxx]

Czyli, jak to w końcu rozwiązać?

[Spektralny]

Jednym rozwiązaniem jest 0. Jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest niezerowe, to \(\displaystyle{ z^4=\overline{z}}\). Podstawiając \(\displaystyle{ z=a+bi}\)...

[Dasio11]

Łatwiej przyrównać moduły i argumenty stron.

[guciu11]

\(\displaystyle{ \overline{z}}\) To jest sprzężenie liczby z? Rozwiązałem to zadanie otrzymując 4 wyniki \(\displaystyle{ z=0, z=1, z= \frac{-1-i \sqrt{3} }{2}, z=\frac{-1+i \sqrt{3} }{2}}\) Ale nie rozumiem przejścia z \(\displaystyle{ z ^{5}= \left| z\right| ^{2}}\) do \(\displaystyle{ z ^{4} =\overline{z}}\) Dlaczego tak? co to jest \(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2}}\)

[Dasio11]

Wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ |z|^2 = z \cdot \overline{z},}\) przekształcamy równoważnie równanie

\(\displaystyle{ z^5 = |z|^2}\)

do postaci

\(\displaystyle{ z^5 = z \cdot \overline{z}}\)

czyli

\(\displaystyle{ z \left( z^4 - \overline{z} \right) =0}\)

Wychodzą stąd dwie możliwości:

\(\displaystyle{ z=0 \vee z^4 - \overline{z}=0,}\)

czyli

\(\displaystyle{ z=0 \vee z^4 = \overline{z}.}\)

A \(\displaystyle{ |z|^2}\) to... hmmm. No po prostu moduł z \(\displaystyle{ z}\) podniesiony do kwadratu.

[guciu11]

Dzięki za wyjaśnienie.Ten sposób rozumiem. Mógłbyś napisać w jaki sposób przyrównać moduły i argumenty ze sobą, o którym mówiłeś wcześniej? bo skoro po prawej stronie mam moduł do kwadratu, to nie bardzo rozumiem jak to zrobić

[Dasio11]

Skoro dla \(\displaystyle{ x \in \left< 0, \infty \right)}\) mamy \(\displaystyle{ |x|=x,}\) to \(\displaystyle{ \left| |z|^2 \right| = |z|^2.}\)

Rozwiązujemy:

\(\displaystyle{ z^5 = |z|^2 \qquad \qquad (*)}\)

Skoro strony są równe, to ich moduły tym bardziej, zatem:

\(\displaystyle{ \left| z^5 \right| = |z|^2 \\
|z|^2 \left( |z|^3 - 1 \right) =0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ |z|^2=0,}\) to \(\displaystyle{ z=0}\) - spełnia równanie.

Jeśli \(\displaystyle{ z \neq 0,}\) to musi być \(\displaystyle{ |z|=1.}\) Wtedy też strony równania \(\displaystyle{ (*)}\) są niezerowe i możemy przyrównać ich argumenty:

\(\displaystyle{ \mbox{Arg} \; z^5 = \mbox{Arg} \; |z|^2}\)

Ale \(\displaystyle{ \mbox{Arg} \; |z|^2=0,}\) zatem \(\displaystyle{ \mbox{Arg} \; z=\frac{2k \pi}{5}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}.}\)

Rozwiązaniami są więc \(\displaystyle{ z=0}\) oraz pierwiastki piątego stopnia z jedynki.