Liczby zespolone

[Kar_o_l_ina]

Mam takie pytanie, czy jeśli mam rozwiązać podane równanie w liczbach zespolonych:

\(\displaystyle{ z^{4} =- \sqrt{3} -i}\)

to czy dobrze rozumie, że mogę je zapisać w formie:

\(\displaystyle{ z= \left( - \sqrt{3} -i \right)^{\frac{1}{4}}}\)

i teraz liczyć ze wzory de moivra?
A jeśli nie, to jaki jest sposób na rozwiązywanie tego typu rownan ? Bo z tego moje sposobu wychodzi jedna opwiedx, a powinno ich byc 4...

Dzięki z z góry za szybką odpowiedź !

[ares41]

podstawienie
\(\displaystyle{ t=z^2}\)

[Kar_o_l_ina]

ale co mi da podsatwienie ? nie wiem, jak sie rzowizuje tego typu zadanie, myslalm, ze to byl pomysl, ale okazal sie zly, moglbys mi to wytlumaczyc ? jutro mam egzamin z algebry...

[ares41]

Z tego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t= \sqrt{- \sqrt{3}-i } \ \ \vee t= -\sqrt{- \sqrt{3}-i }}\)
A dalej ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej (można od razu bez podstawienia, jak kto woli)

II sposób
równanie dwumienne

[Kar_o_l_ina]

A dalej ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej (można od razu bez podstawienia, jak kto woli)

A jak wygląda ten wzór ?
bo ten de moivr to daje tylko 1 rozwiazanie

[ares41]

\(\displaystyle{ \epsilon_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left( \cos{ \frac{\phi+2k\pi}{n} }+i\sin{ \frac{\phi+2k\pi}{n}}\right) \\ k\in\left\{0,1,2,...,n-1\right\}}\)

[Kar_o_l_ina]

Czyli w tym moim przypadku, gdybym nie zastosowala podstawienie t, tylko od frazu z tych wzorow, to n wynosilo by 4, tak? a k ?
jeszcze tylko teog nie rozumie, wtedy jak by roziwazuje sie 4 razy ten wzór ?

[ares41]

\(\displaystyle{ k}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 3}\)

[Kar_o_l_ina]

czyli w moim przypadku n=4
z1 liczę dla k=0, z2 dla k=1, z3 dla k=2 a z4 dla k=3 ?
jesli tak to wreszcie zrozumialam, jak to sie oblicza

[ares41]

tak

[Kar_o_l_ina]

BARDZO CI DZIĘKUJĘ, życie mi ratujesz
Pozdrawiam !