Rozwiąż równanie 2

petro · Post autor: **petro** » 16 cze 2011, o 23:46

Rozwiązać (w liczbach zespolonych) równanie:
\(\displaystyle{ (5-5i)x^2-(3-2i)x+1=0}\)

Wyliczam deltę i wychodzi: \(\displaystyle{ -15+8i}\)

Następnie pierwiastki: \(\displaystyle{ x_1=\frac{18-6i}{10-10i}}\), \(\displaystyle{ x_2=\frac{-12+10i}{10-10i}}\)

Co dalej z tym zrobić?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 16 cze 2011, o 23:54

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Dobrze jest też wyciągnąć 10 w cześniej, żeby zmniejszyć rachunki.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 16 cze 2011, o 23:55

Pomijając kwestię złego dodania/odjęcia w liczniku to przypomnij mi/sobie wzór na pierwiastki funkcji kwadratowej.

petro · Post autor: **petro** » 17 cze 2011, o 00:17

Przepraszam, mój błąd. Podstawiając do wzoru na pierwiastki, zapomniałem, że ma tam być pierwiastek z delty

Pierwiastki wyglądają więc następująco:
\(\displaystyle{ x_1=\frac{3-2i-\sqrt{-15+8i}}{10-10i}}\)

\(\displaystyle{ x_1=\frac{3-2i+\sqrt{-15+8i}}{10-10i}}\)

Pytanie, co dalej z tym zrobić?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 17 cze 2011, o 00:32

Z mianownikiem to już napisałem. Należałoby się też pozbyć tego pierwiastka.
Musisz więc znaleźć taką liczbę, która podniesiona do kwadratu da ci \(\displaystyle{ 8i-15}\).

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 17 cze 2011, o 00:32

Najpierw osobno wyliczyć pierwiastek z delty. Potem zastosować wskazówkę pyzola.

petro · Post autor: **petro** » 17 cze 2011, o 00:49

Inkwizytor pisze:Najpierw osobno wyliczyć pierwiastek z delty. Potem zastosować wskazówkę pyzola.

Przy wyliczaniu pierwiastka z delty próbuje wykorzystać wzór:
\(\displaystyle{ z_k=\sqrt[n]{|z|}(cos \frac{\phi+2k\pi}{n} + isin \frac{\phi+2k\pi}{n})}\)

Wyliczam moduł: \(\displaystyle{ |z|=17}\)
Gdy próbuje wyznaczyć argument pojawiają się problemy.
\(\displaystyle{ cos\phi = -\frac{15}{17}}\)
\(\displaystyle{ sin\phi = \frac{8}{17}}\)

Próbuje wykorzystać wzór: \(\displaystyle{ tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}}\), co w końcu daje mi \(\displaystyle{ tg\phi=\frac{8}{15}}\).
Jak wyznaczyć z takiej wartość tangensa wartość kąta? Odczytać przybliżony wynik z kalkulatora?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 17 cze 2011, o 01:01

Ta wam tylko kalkulator w głowie. Nic dziwnego, że później takie problemy.
\(\displaystyle{ -15+8i=(a+ib)^2\\
-15+8i=a^2-b^2+2iab\\
\begin{cases} a^2-b^2=15\\ ab=4 \end{cases}}\)
Tutaj wręcz można odgadnąć rozwiązanie.