Równanie z zespolonymi

[wirux07]

Rozwiazac równanie

\(\displaystyle{ z ^{5}=\left| z\right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ z \in C}\)

Jakby ktos mi tak rozpisal jakto na poczatu leci? Czy rozpatrujemy dla z>0 i dla z<0
Z góry dzieki

[Qń]

Czy rozpatrujemy dla \(\displaystyle{ z>0}\) i dla \(\displaystyle{ z<0}\)

W liczbach zespolonych napis \(\displaystyle{ z>0}\) nie ma żadnego sensu, bowiem w liczbach zespolonych nie da wprowadzić się sensownego porządku.

Żeby rozwiązać zadanie, zauważmy, że po przyłożeniu modułu do obu stron dostaniemy:
\(\displaystyle{ |z|^5=|z|^2}\)
skąd \(\displaystyle{ |z|=0}\) lub \(\displaystyle{ |z|=1}\). W pierwszym wypadku oczywiście \(\displaystyle{ z=0}\), a w drugim mamy do czynienia z równaniem \(\displaystyle{ z^5=1}\) na którego rozwiązanie są już gotowe wzory.

Q.

[wirux07]

a jak rozpisac to \(\displaystyle{ z ^{5}=1}\) ??

\(\displaystyle{ z ^{5}=-i}\)

iii dalej liczac kąt i obliczajac \(\displaystyle{ z_{0}, z _{1} .... z_{4}}\)??

[sushi]

tak, pierwiastki piatego stopnia z ...