Z postaci symbolicznej (zespolonej) na postać trygonometrycz

[SanczoPanczo]

Witam,
W zadaniach z elektrotechniki mam do wyznaczenia postać trygonometryczną z postaci zespolonej i odwrotnie - mój problem polega CHYBA tylko na wyliczeniu kąta.

Przykładowo mam taki zapis (dla impedancji, czyli rezystancji występującej w metodzie symbolicznej - nie istotne w sumie...):
\(\displaystyle{ 0,1 - j0,1}\)

I ten zapis mam przekształcić na postać trygonometryczną, czyli w moim mniemaniu robię tak:

Wyznaczam kąt \(\displaystyle{ \varphi}\):
\(\displaystyle{ \varphi = arctg \left( \frac{-0,1}{0,1} \right) = arctg \left( -1 \right)}\)

Następnie wyznaczam odległość \(\displaystyle{ \left| z \right|}\):
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{ \left( 0,1\right)^2 + \left( -0,1\right)^2 } = 0,14}\)

Czyli bez kąta fi mój zapis trygonometryczny wyglądać będzie tak:
\(\displaystyle{ 0,14e^{j\varphi}}\)

Ale w jaki sposób RĘCZNIE wyliczyć \(\displaystyle{ arctg \left( -1 \right)}\) ?

Mam nadzieję, że nie zostanę wychłostany za to pytanie... ale naprawdę już siedzę nad tym dużo czasu i nie wiem jak to zrobić. Próbowałem najpierw liczyć tangens i potem odwracać, ale nie wychodzi mi poprawny wynik... proszę o wyrozumiałość.

Ten przykład wydaje się być łatwy, ale co z przykładem tj. \(\displaystyle{ 13-j13 \sqrt{3}}\) ? Dodam, że nie wolno mi korzystać z kalkulatora przy obliczaniu tych zadań.


Przeglądałem podręcznik z matematyki, ale czarna dziura w mojej głowie jeżeli chodzi o ten zakres materiału...

Pozdrawiam, proszę i dziękuje za pomoc

[Ein]

\(\displaystyle{ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\), czyli jeżeli \(\displaystyle{ \tan(x)=-1}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ \sin(x)=-\cos(x)}\). Tak jest dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\).

Musisz się nauczyć to odczytywać z tablic albo wykresów funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\).

Z kolei wartość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}}\) tangens przyjmuje w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).

Naucz się tej tabelki: ... 85t.C3.B3w

[SanczoPanczo]

\(\displaystyle{ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\), czyli jeżeli \(\displaystyle{ \tan(x)=-1}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ \sin(x)=-\cos(x)}\). Tak jest dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\).

Musisz się nauczyć to odczytywać z tablic albo wykresów funkcji \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\).

Z kolei wartość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}}\) tangens przyjmuje w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\).

Naucz się tej tabelki: ... 85t.C3.B3w

Hmm... tabelkę pamiętam, a przynajmniej dla 30,60 i 90 stopni. Już przypomniałem sobie jak wyliczać \(\displaystyle{ arctg}\), ale nadal mam problem z wyznaczaniem kąta, czyli niewiele ogarnąłem

Pokaże jak to robię na przykładzie dla: \(\displaystyle{ 0,5-j1,5}\)

\(\displaystyle{ \left| r \right| = \sqrt{ \left( 0,5\right)^2 + \left( -1,5 \right)^2 } = \sqrt{0,25 + 2,25} = 1,58}\)

\(\displaystyle{ \varphi = arctg \left( \frac{-1,5}{0,5} \right) = y}\)

\(\displaystyle{ y = arctg \left( -3 \right)}\)

\(\displaystyle{ -3 = tg\left( y\right)}\)

I tu są schody, bo poprawny wnik to \(\displaystyle{ 1,58e^{-j76,1}}\), a ja nie mam pojęcia jak do niego dojśc tzn. jak wyznaczyć to fi wynoszące 71,6. Dla wartości stablicowanych tj. te z podanego linka to wiem jak robić już, bo dla następującego przykładu zrobiłbym tak:
\(\displaystyle{ 0,5+j,05}\)

\(\displaystyle{ \varphi = arctg\left( \frac{0,5}{0,5} \right) = arctg(1) = y}\)

\(\displaystyle{ y=arctg\left( 1\right)}\)

\(\displaystyle{ 1=tg\left( y\right) = 45^{ \cdot }}\) - odczytując z tablic, a więc wynik końcowy dla tego wyniesie \(\displaystyle{ 0,707e^{j45}}\) (0,707 wyliczyłem jako \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) ). Czyli tutaj już ogarniam jeżeli chodzi o odczytanie z tej tablicy, ale co robić w przypadku pierwszym dla \(\displaystyle{ tg=-3}\) korzystając jedynie z głowy bez żadnych pomocy naukowych - jest to w ogóle możliwe ?

[Ein]

\(\displaystyle{ -3 = tg\left( y\right)}\)

I tu są schody, bo poprawny wnik to \(\displaystyle{ 1,58e^{-j76,1}}\), a ja nie mam pojęcia jak do niego dojśc tzn. jak wyznaczyć to fi wynoszące 71,6. Dla wartości stablicowanych tj. te z podanego linka to wiem jak robić już,

No właśnie do odczytywania wartości potrzebujesz np. tablic matematycznych albo komputera. Nie da się analitycznie wyznaczyć dokładnie każdej wartości \(\displaystyle{ \arctan}\) -- można to zrobić metodami przybliżonymi, np. poprzez szereg Taylora albo jakimiś magicznymi wzorami aproksymującymi.

bo dla następującego przykładu zrobiłbym tak:
\(\displaystyle{ 0,5+j,05}\)

\(\displaystyle{ \varphi = arctg\left( \frac{0,5}{0,5} \right) = arctg(1) = y}\)

\(\displaystyle{ y=arctg\left( 1\right)}\)

\(\displaystyle{ 1=tg\left( y\right) = 45^{ \cdot }}\) - odczytując z tablic, a więc wynik końcowy dla tego wyniesie \(\displaystyle{ 0,707e^{j45}}\) (0,707 wyliczyłem jako \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) ).

Stopnie \(\displaystyle{ 45^\circ}\) zapisujemy jako 45^circ. I nie \(\displaystyle{ 1=45^\circ}\), ale z tego, że \(\displaystyle{ 1=\tan(y)}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=45^\circ}\).

Tutaj drobna uwaga: dlaczego piszesz \(\displaystyle{ e^{j45}}\)? Powinieneś jeśli już napisać właśnie \(\displaystyle{ e^{j45^\circ}}\), ale to nieelegancko (chyba że tak się zapisuje w elektrotechnice), poprawnie byłoby zapisać wartość w radianach: \(\displaystyle{ e^{j\frac{\pi}{4}}}\).

Czyli tutaj już ogarniam jeżeli chodzi o odczytanie z tej tablicy, ale co robić w przypadku pierwszym dla \(\displaystyle{ tg=-3}\) korzystając jedynie z głowy bez żadnych pomocy naukowych - jest to w ogóle możliwe ?

No właśnie nie jest, o czym Ci napisałem powyżej.

Warto też podkreślić, że funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, a więc przyjmują te same wartości dla pewnych wielokrotności argumentów, np. \(\displaystyle{ \tan(y)=\tan(y+\pi)}\).

[SanczoPanczo]

\(\displaystyle{ -3 = tg\left( y\right)}\)

I tu są schody, bo poprawny wnik to \(\displaystyle{ 1,58e^{-j76,1}}\), a ja nie mam pojęcia jak do niego dojśc tzn. jak wyznaczyć to fi wynoszące 71,6. Dla wartości stablicowanych tj. te z podanego linka to wiem jak robić już,

No właśnie do odczytywania wartości potrzebujesz np. tablic matematycznych albo komputera. Nie da się analitycznie wyznaczyć dokładnie każdej wartości \(\displaystyle{ \arctan}\) -- można to zrobić metodami przybliżonymi, np. poprzez szereg Taylora albo jakimiś magicznymi wzorami aproksymującymi.

bo dla następującego przykładu zrobiłbym tak:
\(\displaystyle{ 0,5+j,05}\)

\(\displaystyle{ \varphi = arctg\left( \frac{0,5}{0,5} \right) = arctg(1) = y}\)

\(\displaystyle{ y=arctg\left( 1\right)}\)

\(\displaystyle{ 1=tg\left( y\right) = 45^{ \cdot }}\) - odczytując z tablic, a więc wynik końcowy dla tego wyniesie \(\displaystyle{ 0,707e^{j45}}\) (0,707 wyliczyłem jako \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) ).

Stopnie \(\displaystyle{ 45^\circ}\) zapisujemy jako 45^circ. I nie \(\displaystyle{ 1=45^\circ}\), ale z tego, że \(\displaystyle{ 1=\tan(y)}\) wynika, że \(\displaystyle{ y=45^\circ}\).

Tutaj drobna uwaga: dlaczego piszesz \(\displaystyle{ e^{j45}}\)? Powinieneś jeśli już napisać właśnie \(\displaystyle{ e^{j45^\circ}}\), ale to nieelegancko (chyba że tak się zapisuje w elektrotechnice), poprawnie byłoby zapisać wartość w radianach: \(\displaystyle{ e^{j\frac{\pi}{4}}}\).

Czyli tutaj już ogarniam jeżeli chodzi o odczytanie z tej tablicy, ale co robić w przypadku pierwszym dla \(\displaystyle{ tg=-3}\) korzystając jedynie z głowy bez żadnych pomocy naukowych - jest to w ogóle możliwe ?

No właśnie nie jest, o czym Ci napisałem powyżej.

Warto też podkreślić, że funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, a więc przyjmują te same wartości dla pewnych wielokrotności argumentów, np. \(\displaystyle{ \tan(y)=\tan(y+\pi)}\).

Pozostaje mi mieć nadzieję, że na egzaminie będą proste stopnie do wyliczenia, czyli takie stablicowane.

A co do radianów, to wykładowca przedstawiał nam zapis w stopniach i tak zapisuję

Dzięki za posta.-- 5 cze 2011, o 22:17 --Napotkałem problem z metodą symboliczną. Mam wyznaczyć postać trygonometryczną dla:

\(\displaystyle{ -j2}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{\left( -2\right)^2 } = 2}\) - tu się zgadza zgodnie z odpowiedzią

A teraz to co mi się nie zgadza, czyli nieszczęsne fi:

\(\displaystyle{ \varphi = arctg\left( \frac{-2}{0} \right) = 0}\)

Niestety 0 to jest zła odpowiedź, jak to rozwiązać ?

[Ein]

Od kiedy \(\displaystyle{ -2/0=0}\)?

Zachodzi: \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) to argument \(\displaystyle{ z}\).

No to w Twoim przypadku masz: \(\displaystyle{ \cos\varphi=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\varphi=-1}\).

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \varphi}\) zajdzie powyższe?

[SanczoPanczo]

Od kiedy \(\displaystyle{ -2/0=0}\)?

Zachodzi: \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) to argument \(\displaystyle{ z}\).

No to w Twoim przypadku masz: \(\displaystyle{ \cos\varphi=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\varphi=-1}\).

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \varphi}\) zajdzie powyższe?

No tak, nie można dzielić przez zero, czyli 90 stopni, dzięki.

A w jaki sposób zamienić postać wykładniczą na postać kanoniczną (czyli np. z \(\displaystyle{ 2e^{j45}}\) na \(\displaystyle{ 0,1+j0,1}\)) ?

Nie wiem czy powyższe się zgadza, ale jak czegoś takiego dokonać dla takiej postaci wykładniczej ? Wydaje się nie możliwe bo z \(\displaystyle{ \left| z \right|}\) wynoszącego 2 w powyższym przypadku ciężko wyszacować chociażby \(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + y^2}}\), da się jakoś ?

[Ein]

A w jaki sposób zamienić postać wykładniczą na postać kanoniczną (czyli np. z \(\displaystyle{ 2e^{j45}}\) na \(\displaystyle{ 0,1+j0,1}\)) ?

No tak, jak Ci wcześniej napisałem: \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cos\varphi+i(r\sin\varphi)}\).

Nie wiem czy powyższe się zgadza, ale jak czegoś takiego dokonać dla takiej postaci wykładniczej ? Wydaje się nie możliwe bo z \(\displaystyle{ \left| z \right|}\) wynoszącego 2 w powyższym przypadku ciężko wyszacować chociażby \(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + y^2}}\), da się jakoś ?

Nie rozumiem, o co Ci teraz chodzi. Napisz dokładniej.

[SanczoPanczo]

A w jaki sposób zamienić postać wykładniczą na postać kanoniczną (czyli np. z \(\displaystyle{ 2e^{j45}}\) na \(\displaystyle{ 0,1+j0,1}\)) ?

No tak, jak Ci wcześniej napisałem: \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=r\cos\varphi+i(r\sin\varphi)}\).

Nie wiem czy powyższe się zgadza, ale jak czegoś takiego dokonać dla takiej postaci wykładniczej ? Wydaje się nie możliwe bo z \(\displaystyle{ \left| z \right|}\) wynoszącego 2 w powyższym przypadku ciężko wyszacować chociażby \(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + y^2}}\), da się jakoś ?

Nie rozumiem, o co Ci teraz chodzi. Napisz dokładniej.

No tak, pierwsze zdanie jest odpowiedzią na moje pytanie - nie pamiętałem tego wzoru / rozwinięcia.

Dzięki!