Narysuj zbiór liczb zesp. spełn. warunki

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Cybran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 5 lut 2011, o 08:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 1 raz

Narysuj zbiór liczb zesp. spełn. warunki

Post autor: Cybran »

Witam serdecznie!
Przygotowuję się z podręcznika z Kolokwiami i Egzaminami Gewerta i Skoczylasa i mam problem z JEDNYM KONKRETNYM typem zadań. Prosiłbym o pomoc i podanie jakiejś ogólnej porady, jak to robić, bo z kilku podręczników za nic nie mogę zrozumieć

A oto przykłady i (żeby nie było, że jestem nierobem ) jak próbowałem je rozwiązać:

1. \(\displaystyle{ \left\{ Im (z ^{3}) \le 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ Im (r ^{3}cos3 \alpha + ir ^{3}sin3 \alpha \le 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ r ^{3}sin3 \alpha \le 0}\)
\(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ 3 \alpha =0+2k \pi}\)

i tak dalej i tak dalej, wiem, że to wychodzi źle. Jakoś zupełnie nie ogarniam tego typu zadań, nawet mając Jurlewicz i Skoczylasa przed sobą Pomożecie?

2. \(\displaystyle{ \left\{ Im \frac{z-1}{z+1}=0 \right\} \setminus \times (z+1)}\)
\(\displaystyle{ \left\{ Im z-1=0\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ Im (x+yi) + 1 = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ y=0}\)

I to raczej też nie jest za dobrze...

3. Analogiczny przykład jak powyżej tylko, że inaczej sformuloway:

\(\displaystyle{ \left\{ Re \frac{1-z}{1+z}=1 \right\}}\)

4. I rzecz ostatnia juz calkiem:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+1}{z ^{2}+1 }\right| \ge 1}\)

W takich przykładach jak ten totalnie głupieję - jak podstawiam za z= x+yi to mi wychodzą takie dziwactwa, z którymi nie wiadomo co robić. Ani to nie jest równanie okręgu ani nic. Chodziłoby mi o samą metodę rozwiązywania tego typu przykładów.

HELP! I z góry dzięki za pomoc
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Narysuj zbiór liczb zesp. spełn. warunki

Post autor: Psiaczek »

Cybran pisze:Witam serdecznie!
Przygotowuję się z podręcznika z Kolokwiami i Egzaminami Gewerta i Skoczylasa i mam problem z JEDNYM KONKRETNYM typem zadań. Prosiłbym o pomoc i podanie jakiejś ogólnej porady, jak to robić, bo z kilku podręczników za nic nie mogę zrozumieć

A oto przykłady i (żeby nie było, że jestem nierobem ) jak próbowałem je rozwiązać:

1. \(\displaystyle{ \left\{ Im (z ^{3}) \le 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left\{ Im (r ^{3}cos3 \alpha + ir ^{3}sin3 \alpha \le 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ r ^{3}sin3 \alpha \le 0}\)
\(\displaystyle{ r=0}\)
\(\displaystyle{ 3 \alpha =0+2k \pi}\)

i

HELP! I z góry dzięki za pomoc
Ja bym normalnie rozpisał:

\(\displaystyle{ z=a+bi,z^3=(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i}\)

Twój warunek przybiera postać: \(\displaystyle{ 3a^2b-b^3 \le 0,b(3a^2-b^2) \le 0}\)

Teraz możesz sobie ewentualnie oddzielnie znaleźć \(\displaystyle{ b(3a^2-b^2)=0}\)
oraz \(\displaystyle{ b(3a^2-b^2)<0}\) jak od razu nie widzisz co wyjdzie, i zsumować otrzymane zbiory.

Z pierwszego np. \(\displaystyle{ b=0 \vee b= \sqrt{3}a \vee b=- \sqrt{3} a}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Narysuj zbiór liczb zesp. spełn. warunki

Post autor: Dasio11 »

A moim zdaniem metoda kolegi jest dużo lepsza, tylko niepoprawnie dokończona. :-) Ponieważ zawsze dobieramy \(\displaystyle{ r \ge 0}\), to nierówność

\(\displaystyle{ r^3 \sin 3 \alpha \le 0}\)

jest równoważna

\(\displaystyle{ r=0 \vee \sin 3 \alpha \le 0}\)

i wystarczy znaleźć rozwiązania dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( -\pi, \pi \right>}\) (albo dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left< 0, 2 \pi \right)}\) - jak kto woli).
Cybran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 5 lut 2011, o 08:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 1 raz

Narysuj zbiór liczb zesp. spełn. warunki

Post autor: Cybran »

Na wstępie, to wielkie dzięki za odpowiedź

Psiaczku, doszedłem do tego miejsca, które napisałeś jako ostatnie, czyli

\(\displaystyle{ b(3a ^{2}-b)}\) i rzeczywiście - jakoś jest to dla mnie intuicyjnie czytelne Dzięki.

Natomiast mam problem z kątami, tzn. jak je potem znaleźć?

Dasio11, piszesz trzeba znaleźć rozwiązania dla podanego zakresu a z metody Psiaczka to ciężko mi jest to przeprowadzić
ODPOWIEDZ