Prosiłbym o wyprowadzenie dowodu na taką nierówność
|z+w|
udowodnij nierówność
- aNom4Ly
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 5 sty 2007, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 10 razy
udowodnij nierówność
Ciekawe to zadanko. Trochę będzie liczenia, ale sam dowód jest w miarę prosty. Skoro z i w to liczby zespolone, zatem zapiszę je w sposób ogólny na symbolach:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ w=c+di}\)
Liczba z+w ma postać:
\(\displaystyle{ z+w=a+bi+c+di=a+c+ (b+d)i}\)
Teraz wystarczy policzyć odpowiednie moduły - wzór na moduł to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej pod pierwiastkiem (o czym zapewne doskonale wiesz). Zatem nierówność wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[2]{(a+c)^{2} + (b+d)^{2}} q \sqrt[2]{(a^{2} + b^{2})} + \sqrt[2]{(c^{2} + d^{2})}}\)
Obie strony można podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^{2}+2ac+c^{2}+b^{2}+2bd+d^{2} q a^{2}+b^{2} + 2* \sqrt[2]{(a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})} + c^{2}+d^{2}}\)
Wykreślam wyrażenia występujące po obu stronach nierówności oraz dzielę obustronnie przez dwa otrzymując:
\(\displaystyle{ ac+bd q \sqrt[2]{(a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})}}\)
Znów obie strony podnoszę do kwadratu:
\(\displaystyle{ (ac+bd)^{2} q (a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})}\)
\(\displaystyle{ a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2} q a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}\)
Upraszczam to co powtarza się po obu stronach i przenoszę wszystko na prawą stronę:
\(\displaystyle{ a^{2}d^{2} - 2abcd + b^{2}c^{2} q 0}\)
Widać jak na dłoni, że jest to wzór skróconego mnożenia Dalej jest już prosto:
\(\displaystyle{ (ad - bc)^{2} q 0}\)
Ponieważ z lewej strony jest kwadrat - zatem cokolwiek podniesiemy do kwadratu zawsze będzie większe lub równe zero - nierówność udowodniona! Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ w=c+di}\)
Liczba z+w ma postać:
\(\displaystyle{ z+w=a+bi+c+di=a+c+ (b+d)i}\)
Teraz wystarczy policzyć odpowiednie moduły - wzór na moduł to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej pod pierwiastkiem (o czym zapewne doskonale wiesz). Zatem nierówność wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[2]{(a+c)^{2} + (b+d)^{2}} q \sqrt[2]{(a^{2} + b^{2})} + \sqrt[2]{(c^{2} + d^{2})}}\)
Obie strony można podnieść do kwadratu:
\(\displaystyle{ a^{2}+2ac+c^{2}+b^{2}+2bd+d^{2} q a^{2}+b^{2} + 2* \sqrt[2]{(a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})} + c^{2}+d^{2}}\)
Wykreślam wyrażenia występujące po obu stronach nierówności oraz dzielę obustronnie przez dwa otrzymując:
\(\displaystyle{ ac+bd q \sqrt[2]{(a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})}}\)
Znów obie strony podnoszę do kwadratu:
\(\displaystyle{ (ac+bd)^{2} q (a^{2}+b^{2}) * (c^{2}+d^{2})}\)
\(\displaystyle{ a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2} q a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}\)
Upraszczam to co powtarza się po obu stronach i przenoszę wszystko na prawą stronę:
\(\displaystyle{ a^{2}d^{2} - 2abcd + b^{2}c^{2} q 0}\)
Widać jak na dłoni, że jest to wzór skróconego mnożenia Dalej jest już prosto:
\(\displaystyle{ (ad - bc)^{2} q 0}\)
Ponieważ z lewej strony jest kwadrat - zatem cokolwiek podniesiemy do kwadratu zawsze będzie większe lub równe zero - nierówność udowodniona! Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 00:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Drzewica
- Podziękował: 8 razy
udowodnij nierówność
Wielkie dzięki!!! Jeszcze jakbyś mógł udowodnić łączność iloczynu macierzy (post jest w odpowiednim dziale nie pamiętam który to). Na wszelki wypadek podaje go tu:
(AB)C=A(BC)
Studiuje informatyke i facetka od algebry podała te dwie rzeczy do udowodnienia. Oznacza to +4 punkty do końcowego wyniku na semestr, a to mi się bardzo przyda. A więc dzięki za ten pierwszy dowód i bardzo proszę o ten drugi.
(AB)C=A(BC)
Studiuje informatyke i facetka od algebry podała te dwie rzeczy do udowodnienia. Oznacza to +4 punkty do końcowego wyniku na semestr, a to mi się bardzo przyda. A więc dzięki za ten pierwszy dowód i bardzo proszę o ten drugi.
- aNom4Ly
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 5 sty 2007, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 10 razy
udowodnij nierówność
Raczej się nie podejmę, bo pisanie tych macierzy w LaTeX-ie przyprawia o palpitacje serca - podpowiem Ci jednak, że wystarczy zdefiniować macierze A, B, C (najlepiej kwadratowe o wymiarach 2x2) - ich elementami byłyby:radkow pisze:Jeszcze jakbyś mógł udowodnić łączność iloczynu macierzy
- w macierzy A: \(\displaystyle{ a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}}\)
- w macierzy B: \(\displaystyle{ b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22}}\)
- w macierzy C: \(\displaystyle{ c_{11}, c_{12}, c_{21}, c_{22}}\)
Czyli macierze wyglądałyby tak:
\(\displaystyle{ A= ft[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B= ft[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ C= ft[\begin{array}{ccc}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{array}\right]}\)
Potem po prostu wyznaczasz zgodnie z algorytmem mnożenia macierz: A*B
Dalej macierz A*B mnożysz przez macierz C (ten sam algorytm) i otrzymujesz (A*B)*C.
W ten sam sposób policz: B*C oraz (B*C)*A
Po uproszczeniach i wymnożeniu tego wszystkiego zauważysz, że macierz (A*B)*C ma dokładnie takie same elementy jak macierz (B*C)*A - czyli macierze te są sobie równoważne - łączność iloczynu macierzy będzie udowodniona... Pozdrawiam