rozwiązać równania w dziedzinie zespolonej

[krecikzmc]

Witam mam problem z takimi o to równaniami zespolonymi

\(\displaystyle{ e^{2z} =2i\\
\cos z=-2i}\)


jeszcze mam takie pytanko sprzężenie liczby \(\displaystyle{ e^{it}}\) to \(\displaystyle{ -e^{it}}\) czy \(\displaystyle{ e^{-it}}\) bo mi się wydaje ze jest to \(\displaystyle{ -e^{it}}\) tak ?

Jeżeli nie ten dział z góry przepraszam.

[miodzio1988]

Napisz czym z definicji jest \(\displaystyle{ e ^{2z}}\) .

[krecikzmc]

czyli mam skorzystać z takiego wzoru \(\displaystyle{ z^{ \alpha } =e^{ \alpha logz}}\) ??

[miodzio1988]

Nie.

[krecikzmc]

\(\displaystyle{ e^{2z}=e^{2x+2iy}=e^{2x}(cos2y+isin2y)}\)

@miodzio1988 przyznam się szczerze że nie wiem o którą definicję Ci chodzi

[miodzio1988]

No właśnie o taką. Skorzystaj z tego i zobacz co tam wychodzi.

[krecikzmc]

\(\displaystyle{ e^{2x}cos2y+e^{2x}isin2y=2i \Rightarrow e^{2x}cos2y=0}\)
\(\displaystyle{ e^{2x}isin2y=2i}\)

i co dalej z tym zrobić ??

[miodzio1988]

Kiedy taki iloczyn jest rowny zero?

[krecikzmc]

wtedy gdy \(\displaystyle{ \cos 2 y=0}\)
czyli \(\displaystyle{ y= \frac{\pi k}{2}- \frac{\pi}{4}}\)

[Dasio11]

Moim skromnym zdaniem łatwiej byłoby przyrównać moduły i argumenty, tzn.

\(\displaystyle{ \begin{cases} e^{2x} = 2 \\ 2y = \arg \mbox i \end{cases}}\)

przy czym oczywiście pamiętamy, że argumentów liczby \(\displaystyle{ \mbox i}\) jest nieskończenie wiele - dla każdego otrzymamy inne rozwiązanie.

[krecikzmc]

czyli to już koniec zadania ?? proszę niech ktoś napisze jak powinien wyglądać przykład z cosz=-2i
i jak jest z tym sprzężeniem e ??

[Dasio11]

No prawie koniec - trzeba wyliczyć \(\displaystyle{ x,y.}\)

W drugim przykładzie skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ \cos \left( a + b \mbox i \right) = \cos a \cos b \mbox i - \sin a \sin b \mbox i.}\)

Co do pytania:
\(\displaystyle{ \overline{e^{\mbox it}} = \overline{\cos t + \mbox{i} \sin t} = \cos t - \mbox i \sin t = \cos(-t) + \mbox i \sin(-t) = e^{- \mbox i t}}\)

o ile \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}.}\) W przeciwnym wypadku, trzeba trochę więcej podziałać.