Potęgowanie liczb zespolonych - podstawy

[MatematycznyT?uk]

Witam, jako że jestem samoukiem na dodatek słabym matematykiem - mam problem. Zacznijmy od początku :

Mam przykład :

\(\displaystyle{ (i-1) ^{7}}\)
Zapisuję sobie w wygodniejszej postaci
\(\displaystyle{ z=-1+i}\)
Wypisuję x oraz y
\(\displaystyle{ x=-1, y=1}\)

Wyznaczam moduł :

\(\displaystyle{ \sqrt{(-1) ^{2} +1 ^{2} } = \sqrt{2}}\)

Wyznaczam argument główny :

\(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{-1}{ \sqrt{2} }= \frac{- \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}=45^{\circ} = \frac{ \pi }{4}}\)

Zauważam że x=-1 oraz y= 1, co oznacza ze moduł znajduje się w II ćwiartce. Więc :

\(\displaystyle{ \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{3 \pi }{4}}\)

Wyznaczam wzór trygonometryczny :

\(\displaystyle{ z= \sqrt{2}[ \cos ( \frac{3 \pi }{4})+i \sin ( \frac{3 \pi }{4})]}\)

Potęguje przez 7 :

\(\displaystyle{ z ^{7}=8 \sqrt{2}[ \cos ( \frac{21 \pi }{4})+i \sin ( \frac{21 \pi }{4})]}\)

I tutaj kończy się moja przygoda, nie wiem co robić dalej, mógłby mi ktoś dokładnie to wytłumaczyć ? Dzięki i pozdro

[Hondo]

a co ma być dalej?

można chyba jedynie zauważyć, że:
\(\displaystyle{ cos( \frac{21 \pi }{4})=cos( \frac{5\pi }{4})= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ sin( \frac{21 \pi }{4})=sin( \frac{5\pi }{4})= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

i dalej już chyba będziesz wiedział Pozdrawiam

[MatematycznyT?uk]

Niestety nic mi to nie mówi. Prosiłbym o dokładniejsze wytłumaczenie.

[Hondo]

Pomyliłem się:

\(\displaystyle{ cos( \frac{21 \pi }{4})=cos( \frac{5\pi }{4})= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ sin( \frac{21 \pi }{4})=sin( \frac{5\pi }{4})= -\frac{\sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ z ^{7}=8 \sqrt{2}[ \cos ( \frac{21 \pi }{4})+i \sin ( \frac{21 \pi }{4})]=8 \sqrt{2}(-\frac{ \sqrt{2} }{2}-i\frac{ \sqrt{2} }{2})=-8-i8}\)

\(\displaystyle{ (i-1) ^{7}=-8-i8}\)

Rozumiesz?

[MatematycznyT?uk]

Pierwszej części nie rozumiem.

Dlaczego : \(\displaystyle{ cos( \frac{21 \pi }{4})=cos( \frac{5\pi }{4})= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i \(\displaystyle{ sin( \frac{21 \pi }{4})=sin( \frac{5\pi }{4})= -\frac{\sqrt{2} }{2}}\) . Chodzi tutaj o okresowość ?

[Hondo]

Musisz przypomnieć sobie wzory redukcyjne:



Zapewne wiesz, że funkcja cos czy sin co \(\displaystyle{ 360 ^{o}}\) lub jak kto woli \(\displaystyle{ 2 \pi}\) przyjmuje te same wartości. Czyli słusznie zauważyłeś są one okresowe.

\(\displaystyle{ \frac{21}{ \pi }=4 \pi+ \frac{5 \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ 4 \pi = \frac{16 \pi }{4}}\)

a jak popatrzysz na wzory redukcyjne to:

\(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{4}= \pi +\frac{ \pi }{4}}\) wzór to \(\displaystyle{ \pi + \alpha = \begin{cases} -cos \alpha \\ -sin \alpha \end{cases}}\)

jest to trzecia ćwiartkowa więc sinus i cosinus są ujemne

Mam nadzieję, że coś zrozumiałeś z tego co napisałem starałem się, żeby było jak najbardziej zrozumiałe

[MatematycznyT?uk]

Dzięki bardzo. Wydaje mi się że zrozumiałem Pozdrawiam.

[Hondo]

Pozdrawiam