równanie w zbiorze liczb zespolonych

[kyjta]

proszę o sprawdzenie przykładu:
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{z^2+1}=z}\)
\(\displaystyle{ z+1=z^3+z}\)
\(\displaystyle{ z^3=1}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{1}}\)

czy dalej liczyć \(\displaystyle{ \cos \varphi}\) oraz \(\displaystyle{ \sin\varphi, \varphi=2k \pi}\)? póżniej korzystać ze wzoru na pierwiastek liczby zespolonej?

jaką metodę wybrać na rozwiązanie tego typu równania?
\(\displaystyle{ z^4+(i+i^2+i^3)^3=0}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{1}\\
1=\cos(0+2k\pi)+i\sin(0+2k\pi)\\
z_1=\cos0+i\sin0=1\\
z_2=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\\
z_3=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\\}\)
albo
\(\displaystyle{ (a+ib)^3=1\\
a^3+3ia^2b+3i^2ab^2+i^3b^3=a^3-3ab^2+3ia^2b-ib^3=1\\
\begin{cases} a^3-3ab^2=1\\3a^2b-b^3=0\end{cases}\\
b(3a^2-b^2)=0 \Rightarrow b=0\ \vee b^2=3a^2\\
b=0 \Rightarrow a^3=1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow z_1=1\\
b^2=3a^2 \Rightarrow a^3-9a^3=1 \Rightarrow a^3=-\frac{1}{8} \Rightarrow a=-\frac{1}{2} \Rightarrow b^2=\frac{3}{4} \Rightarrow \\ \Rightarrow b=-\frac{\sqrt{3}}{2}\vee b=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \\ z_2=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\\ z_3=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)


\(\displaystyle{ z^4+(i+i^2+i^3)^3=0\\
i+i^2+i^3=i-1-i=-1\\
z^4+(-1)^3=z^4-1=0 \Rightarrow z^4=1 \Rightarrow \left(z^2 \right)^2=1 \Rightarrow z^2=1\vee z^2=-1 \Rightarrow\\
z_1=1\\
z_2=-1\\
z_3=i\\
z_4=-i}\)