Interpretacja na płaszczyźnie.

[Ciamolek]

Opisz, co przedstawiają na płaszczyźnie poniższe zbiory:

(a) \(\displaystyle{ z a^{*} +z^{*}a=0}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
(b) \(\displaystyle{ 2\left| z-b\right|=z+z^{*}+2b}\), gdzie \(\displaystyle{ b \in R, b \neq 0}\)
(c) \(\displaystyle{ logz=ilog(z^{*})}\)

Gdzie w całym zadaniu \(\displaystyle{ x^{*}}\) oznacza sprzężenie zespolone.

Jeśli chodzi o (a), to wiem, że to będzie prosta przez środek układu współrzędnych, ale... dlaczego? I pod jakim kątem?

Jeśli chodzi o (b) to mam: \(\displaystyle{ z+z^{*}=2|z| \Rightarrow |z-b|=|z|+b}\), ale nie bardzo wiem, co z tym zrobić.

W (c): \(\displaystyle{ logz= log|z|+iarg(z)}\), \(\displaystyle{ log(z^{*})=log|z|-iarg(z)}\). Po podstawieniu:
\(\displaystyle{ log|z|+iarg(z)=ilog|z|+arg(z) \Rightarrow log|z|-arg(z)=i[log|z|-arg(z)] \Rightarrow log|z|=arg(z)}\) Czy powyższe przekształcenia są poprawne? Jeśli tak, to jak narysować zbiór rozwiązań tego ostatniego równania?

Proszę o wsparcie,
Ciamolek

[Dasio11]

(a) \(\displaystyle{ za^* + \left( za^* \right)^* = 0}\)

jakie musi być \(\displaystyle{ za^*,}\) żeby to zachodziło? Jakie w takim razie musi być \(\displaystyle{ z?}\)

[Ciamolek]

\(\displaystyle{ Re(za^{*})=0}\) ... a jakie musi być \(\displaystyle{ z}\)?

Jeśli weźmiemy:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\) oraz \(\displaystyle{ a=c+di}\)
To otrzymamy, że \(\displaystyle{ xc+yd=0}\) z powyższego warunku na część rzeczywistą \(\displaystyle{ (za^{*})}\). Ale jakie musi być \(\displaystyle{ z}\)?

Pozdrawiam,
Ciamolek

[Dasio11]

Pomyśl raczej w ten sposób:

Skoro \(\displaystyle{ \Re \left( za^* \right) = 0,}\) to albo \(\displaystyle{ za^*=0}\) tzn. \(\displaystyle{ z=0,}\) albo

\(\displaystyle{ \arg za^* = \frac{\pi}{2} \vee \arg za^* = \frac{3 \pi}{2}.}\)

Jakie \(\displaystyle{ z}\) spełniają którykolwiek z tych warunków?