Pierwistek z liczby zespolonej

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 15 maja 2011, o 22:17

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[2001]{1}=\left\{ 1, z _{1}, z _{2}, ..., z _{2000} \right\}}\). Wykazac, ze \(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2000}(1-z _{k})=2001}\)

Crizz · Post autor: **Crizz** » 15 maja 2011, o 22:31

Wskazówka: rozważ wielomian \(\displaystyle{ W(z)=\frac{z^{2001}-1}{z-1}}\) (z dziedziną uzupełnioną w ten sposób, że jest ciągły). Przedstaw ten wielomian na dwa sposoby.

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 15 maja 2011, o 23:46

Nie wiem dalej jak to zrobic...

jgarnek · Post autor: **jgarnek** » 16 maja 2011, o 00:05

Rozłóżmy wielomian \(\displaystyle{ z^{2001}-1}\) na czynniki liniowe ():
\(\displaystyle{ z^{2001}-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000})}\)
Z drugiej strony, możesz skorzystać ze wzoru na różnicę potęg 2001-szych:
\(\displaystyle{ z^{2001}-1=(z-1) \cdot (??)}\)
Porównując obydwie formy W(x), stwierdzasz, że
\(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_2)...(z-z_{2000})=??}\)
i wystarczy teraz, że podstawisz w ostatniej równości z=1.