Liczby zespolone wykazywanie

[Kanodelo]

Wykaż że \(\displaystyle{ |Z_1Z_2|=|Z_1||Z_2|}\)

No i nie wiem jak to zrobić bo na wykładzie nam tego facet nie powiedział, tylko mówił żeby skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ |Z|^2=Z \cdot \overline{Z}}\), a niewiem jak

[Crizz]

Na upartego możesz podnieść obie strony do kwadratu i spróbować korzystać z tej własności w dowodzeniu otrzymanej równości. Potem zauważasz, ze skoro \(\displaystyle{ L^2=P^2}\), to \(\displaystyle{ L=P}\), bo \(\displaystyle{ L,P \ge 0}\).

Wygodniej będzie chyba podstawić po prostu \(\displaystyle{ z_1=x_1+y_1i,z_2=x_2+y_2i}\) i poobliczać osobno lewą i prawą stronę.

[Kanodelo]

Jest!!! Udało się!!!
\(\displaystyle{ L=|(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)|=|x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i-y_1y_2|}=|(x_1+x_2-y_1-y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i|=\sqrt{(x_1x_2-y_1y_2)^2+(x_1y_2+y_1x_2)^2}=\sqrt{x_1^2x_2^2-2x_1x_2y_1y_2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+2x_1y_1x_2y_2+y_1^2x_2^2}=\sqrt{x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+x_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2}}\)
\(\displaystyle{ P=|x_1+y_1i||x_2+y_2i|=\sqrt{(x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2x_2^2+x_1^2y_2^2+y_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2}}\)
Czyli L=P

[Dasio11]

Crizz, nadal uważasz że sposób ze sprzężeniem jest brzydszy?

[Crizz]

Może powiem tak: skoro Kanodelo nie wiedział jak to "udowodnić sprytnie", to chciałem pokazać jak to "udowodnić po prostu". Jak dla mnie to do sposobów naokoło, w stylu: najpierw równość z tezy podnosimy do kwadratu, a potem zastanawiamy się, czy z tego wynika teza, niebezpiecznie się przyzwyczajać.