Wykazać. że zbiór jest odcinkiem

[KaBaSZo]

Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_{1} \neq z_{2}}\) zbiór \(\displaystyle{ \left\{ z \in C: z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) \cdot t, t \in \left[ 0;1 \right] \right\}}\) jest odcinkiem o końcach \(\displaystyle{ z_{1}, z_{2}}\).

Logicznie myśląc ten zbiór musi być odcinkiem, ale nie wiem czy taki trywialny dowód jest wystarczający.

Podstawiając do równania \(\displaystyle{ t = 0 \ i \ t = 1}\) mamy \(\displaystyle{ z_{1} \le z \le z_{2}}\) a wartości pośrednie zwiększają z1 o różnicę długości tych dwóch liczb.
Wydaje mi się, że to jest za mało, może trzeba kombinować z wektorami albo jeszcze inaczej.


Jeszcze mam pytanie odnośnie zbioru \(\displaystyle{ |z + 1| + |z - 1] = 3}\). Suma odległości liczby zespolonej z od liczb 1 i -1 równać się ma 3. Wiem, że to będzie elipsa, ale nie potrafię jej narysować. Czy oś wielka ma długość 3 a mała 2 ?

[szw1710]

Mamy \(\displaystyle{ z=tz_2+(1-t)z_1}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ z}\) leży na odcinku o końcach \(\displaystyle{ z_1,z_2}\). Jeśli będziemy zmieniać \(\displaystyle{ t\in[0,1],}\) dostaniemy wszystkie (i tylko te) punkty z tego odcinka. Najłatwiej wykazać to geometrycznie utożsamiając liczby zezpolone z punktami płaszczyzny. Najpierw proponuję się przekonać, że w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ [a,b]=\{ta+(1-t)b:0\le t\le 1\}.}\) Stąd łatwa już droga wiedzie do przekonania się, że odcinek o końcach \(\displaystyle{ (x_1,y_1),\;(x_2,y_2)}\) składa się z punktów \(\displaystyle{ \bigl(tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2\bigr),}\) gdzie \(\displaystyle{ 0\le t\le 1}\). Po prostu napisz równanie prostej łączącej te punkty i policz troszkę.

[Ein]

Wszystko w tym zadaniu rozbija się o formalną definicję odcinka. Ja znam taką:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (lub \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)) i niech \(\displaystyle{ a,b\in X}\), \(\displaystyle{ a\neq b}\). Odcinkiem o końcach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) nazywamy zbiór \(\displaystyle{ ab=\{a\lambda+(1-\lambda)b:\ \lambda\in[0,1]\}}\).

Słowem jest to właśnie to, o co pyta autor wątku.

Jakie inne definicje można przyjąć?

[szw1710]

Zapewne chodziło o przejście od intuicyjnego pojęcia odcinka (zbiór punktów leżących pomiędzy końcami) do definicji, jaką podałeś. W istocie, to jest poprawna definicja odcinka w przestrzeni liniowej. Równoważnie można ją sformułować w ten sposób, że odcinek \(\displaystyle{ ab}\) to otoczka wypukła zbioru \(\displaystyle{ \{a,b\}}\).

[KaBaSZo]

Napisałem równanie prostej i wstawiłem do niego współrzędne punktu znajdującego się na tym odcinku(z parametrem t). Wyszło, że punkt należy do tej prostej, co implikuje że każdy punkt, gdzie \(\displaystyle{ t \in \left[ 0;1\right]}\) należy do tej prostej i wyznacza na niej odcinek.

Nie wiem czy o to Ci chodziło, czy może o dowód tego, że odcinek to taki zbiór, na co i tak nie mam pomysłu.

[szw1710]

Chodziło dokładnie o to, o czym piszesz. To wystarczy za dowód, gdyż punkty odcinka scharakteryzowałeś analitycznie.

[KaBaSZo]

Wiesz może, albo sam potrafisz udowodnić, gdzie przeczytam o dowodzie, wyprowadzeniu tego zbioru dotyczącego odcinka ?