Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ |z_1|=|z_2|=|z_3|}\) oraz \(\displaystyle{ z_1+z_2+z_3= 0}\), to punkty \(\displaystyle{ z_1,z_2,z_3}\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Zrobiłem to zadanie wykorzystując interpretację geometryczną i rachunek wektorowy, jednak zależy mi na dowodzie algebraicznym.
dowód liczby zespolone
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
dowód liczby zespolone
Promienie są równe więc możemy pominąć. Mamy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \cos \alpha+i\sin\alpha +\cos\beta +i\sin\beta +\cos\gamma +i\sin\gamma=0\\
\begin{cases} \cos \alpha+\cos\beta= -\cos\gamma\\
\sin\alpha+\sin\beta=-\sin\gamma\end{cases}}\)
Teraz skorzystałbym na sumę sinusów i cosinusów. Z założeniem, że \(\displaystyle{ \cos\gama \neq 0}\) przedzieliłbym równania. Wyszło coś by w stylu:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha+\beta}{2}=\gamma}\) (można odgórnie ustalić kąt gamma jako środkowy, nie będziemy wtedy dodawać okresu).
Z tym już można coś zrobić. Nie wiem czy gdzieś błędów nie popełniłem.
\(\displaystyle{ \cos \alpha+i\sin\alpha +\cos\beta +i\sin\beta +\cos\gamma +i\sin\gamma=0\\
\begin{cases} \cos \alpha+\cos\beta= -\cos\gamma\\
\sin\alpha+\sin\beta=-\sin\gamma\end{cases}}\)
Teraz skorzystałbym na sumę sinusów i cosinusów. Z założeniem, że \(\displaystyle{ \cos\gama \neq 0}\) przedzieliłbym równania. Wyszło coś by w stylu:
\(\displaystyle{ \frac{\alpha+\beta}{2}=\gamma}\) (można odgórnie ustalić kąt gamma jako środkowy, nie będziemy wtedy dodawać okresu).
Z tym już można coś zrobić. Nie wiem czy gdzieś błędów nie popełniłem.
-
jgarnek
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
dowód liczby zespolone
Załóżmy, że \(\displaystyle{ |z_1|=|z_2|=|z_3|=1}\) (zadanie da się łatwo sprowadzić do tego przypadku).Wtedy:
\(\displaystyle{ z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})=z_1z_2z_3\overline{(z_1+z_2+z_3)}=0}\)
Rozpatrzmy wielomian W(x) o pierwiastkach \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3}\):
\(\displaystyle{ W(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)=x^3-(z_1z_2z_3)=x^3-a}\)
gdzie a jest pewną liczbą zespoloną o module 1. Rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^3=a}\) tworzą oczywiście trójkąt równoboczny (pierwiastkowanie w zespolonych się kłania).
\(\displaystyle{ z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1z_2z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3})=z_1z_2z_3\overline{(z_1+z_2+z_3)}=0}\)
Rozpatrzmy wielomian W(x) o pierwiastkach \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3}\):
\(\displaystyle{ W(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)=x^3-(z_1z_2z_3)=x^3-a}\)
gdzie a jest pewną liczbą zespoloną o module 1. Rozwiązania równania \(\displaystyle{ x^3=a}\) tworzą oczywiście trójkąt równoboczny (pierwiastkowanie w zespolonych się kłania).