Znaleźć liczby zespolone

[Kanodelo]

Znaleźć wszystkie liczby zespolone z, dla ktorych wyrazenie
\(\displaystyle{ (1+z)(1-z)^{-1}}\) jest liczba czysto urojona.

[scyth]

Zapisz \(\displaystyle{ z=x+iy}\), usuń liczbę zespoloną z mianownika i przedstaw jako \(\displaystyle{ a + ib}\). Następnie sprawdź, dla jakich \(\displaystyle{ (x,y)}\) zachodzi \(\displaystyle{ a=0}\).

[Kanodelo]

Czyli mam usunąć niewymierność? Bo zapisuje to jako \(\displaystyle{ x+yi}\) i zostaje

\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z}= \frac{1+x+yi}{1-x-yi}= \frac{(1+x+yi)^2}{1-(x+yi)^2}= \frac{(1+x+yi)^2}{1-x^2-2xyi+y^2}}\)

dalej amm liczbę zespoloną w mianowniku i już nie wiem jak się jej pozbyć.

[scyth]

Niewymierność? Coś ci się pomieszało. Ale ok, dam ci gotowca (tylko ciii...):
\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} = \frac{1+x+iy}{1-x-iy} = \frac{(1+x+iy)(1-x+iy)}{(1-x-iy)(1-x+iy)} = \frac{1-x^2-y^2+2ixy}{1 - 2x + x^2 + y^2}}\)
Stąd część rzeczywista to:
\(\displaystyle{ \frac{1-x^2-y^2}{1 - 2x + x^2 + y^2}}\)
i ona ma być równa zero, co już chyba łatwo rozwiązać.

[fon_nojman]

Myślę, że prościej tak

\(\displaystyle{ \frac{1+z}{1-z} \cdot \frac{\overline{1-z}}{\overline{1-z}}.}\)

[Kanodelo]

A jakby w zadaniu było, ze wyrażenie ma być liczbą rzeczywistą, to ma być \(\displaystyle{ b=0}\)?

[scyth]

tak