Wartości pierwiastĸów

[Kanodelo]

Niech a+bi będzie jedna spośrod dwoch wartości pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\)
Znależć wartości nastepujących pierwiastkow.

\(\displaystyle{ \sqrt{\overline{z}}, \sqrt{-z}, \sqrt{-\overline{z}}}\)

[Crizz]

Wskazówka: pierwiastkami z \(\displaystyle{ -1}\) są \(\displaystyle{ i,-i}\).

Druga wskazówka: zapisz, co to oznacza, że pierwiastkiem z \(\displaystyle{ z}\) jest \(\displaystyle{ a+bi}\) (czyli \(\displaystyle{ (a+bi)^2=z}\)) i spróbuj tak zmienić lewą stronę, żeby po prawej dostać \(\displaystyle{ \overline{z}}\).

[Kanodelo]

Dasz jeszcze jakś podpowiedź do tego zadanka? Bo narazie wiem tylko że \(\displaystyle{ (a+bi)^2=a^2+2abi-b^2}\) i kompletnie dalej nie wiem co zrobić. Nie musisz sie spieszyć bo na forum i tak będę najwcześniej jutro popołudniu

[Crizz]

A \(\displaystyle{ (a-bi)^2=...}\)?

[Kanodelo]

No to wiem, \(\displaystyle{ (a-bi)^2=a^2-2abi-b^2}\), ale nie kumam jak mam to przekształcić \(\displaystyle{ (a+bi)^2}\) żeby dostać \(\displaystyle{ (a-bi)^2}\), naprzykład \(\displaystyle{ (a+bi)^2=(a-bi)^2+2abi}\) i dalej mam cos po prawej stronie.

[Crizz]

Nie powiedziałem "przekształcić" tylko "zmienić".

Chyba widać, że \(\displaystyle{ \overline{(a+bi)^2}=(a-bi)^2}\)? Czyli jednym z pierwiastków z \(\displaystyle{ \overline{z}}\) będzie... ?

[Kanodelo]

Będzie \(\displaystyle{ a-bi}\)



A naprzykład jak liczę \(\displaystyle{ \sqrt{-z}}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{-(a+bi)^2} = \sqrt{b^2-2abi-a^2}}\) czyli pierwiastkiem będzie \(\displaystyle{ b-ai}\)? Nie wiem czy to ogarniam dobrze.

[Crizz]

Dobrze (można też zauważyć, że \(\displaystyle{ \sqrt{-z}=\sqrt{i^2z}}\), czyli pierwiastkiem będzie np. \(\displaystyle{ i\sqrt{z}}\), gdzie \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\) jest dowolnym z pierwiastków z liczby \(\displaystyle{ z}\).

Oczywiście należy pamiętać, że jeśli \(\displaystyle{ b-ai}\) jest pierwiastkiem z \(\displaystyle{ -z}\), to pierwiastkiem jest również \(\displaystyle{ -b+ai}\), czyli liczba przeciwna do poprzedniego wyniku. Podobnie, jeśli pierwiastkiem z \(\displaystyle{ \overline{z}}\) będzie również \(\displaystyle{ -a+bi}\). Pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej jest zawsze n (czyli w tym zadaniu - zawsze dwa).