wzór de Moivre'a - zastosowania

[ares41]

Wyrazić przez pierwsze potęgi funkcji trygonometrycznych odpowiednich wielokrotności kąta następujące funkcje:
\(\displaystyle{ \text{1) } \cos^3{\varphi} \\ \text{2) } \sin^3{\varphi} \\\text{3) } \cos^4{\varphi} \\\text{4) } \sin^4{\varphi}}\)

[Qń]

Aby znaleźć wzór na \(\displaystyle{ \sin n\phi}\) i \(\displaystyle{ \cos n\phi}\) wystarczy we wzorze d'Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\cos \phi +i\sin n\phi)^n= \cos n\phi +i\sin n\phi}\)
podnieść nawias z lewej strony do \(\displaystyle{ n}\)-tej potęgi, a następnie porównać części rzeczywiste i urojone obu stron.

Na przykład dla \(\displaystyle{ n=2}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \cos^2\phi -\sin^2\phi + 2i\sin\phi \cos \phi =\cos 2\phi + i\sin 2\phi}\)
skąd łatwo otrzymujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta.

Dla \(\displaystyle{ n=3,4}\) analogicznie.

Q.

[ares41]

Tyle że w tym zadaniu nie chodzi o znalezienie wzoru na sinusa\cosinusa wielokrotności kąta, tylko o otrzymanie wzoru na np. sześcian cosinusa, w którym to wzorze występują wyłącznie ( pomijając "zwykłe" liczby ) funkcje wielokrotności danego kąta, tzn. chodzi o zapisanie :
\(\displaystyle{ \cos^n{\varphi}}\)
jako:
\(\displaystyle{ a*\cos{k\varphi}+b*\sin{m\varphi}+....}\) lub w podobnym stylu, a korzystając ze wzoru de Moivre'a po prawej stronie otrzymuję np. sinusa w drugiej potędze i nie bardzo mam jak się tego pozbyć.

[Qń]

Pardą, nie doczytałem, ale w dalszym ciągu zadanie nie jest trudne - z podanego przeze mnie przykładu łatwo wynika, że \(\displaystyle{ \cos^2\phi= \frac 12 (1+\cos 2\phi )}\) i \(\displaystyle{ \sin^2\phi=\frac 12 (1-\sin 2\phi )}\), więc możemy pozbyć się kwadratów. Tak samo dla \(\displaystyle{ n=4}\) możemy pozbyć się trzecich potęg korzystając z przypadku \(\displaystyle{ n=3}\)

Q.