narsować na płaszczyźnie zespolonej

[macik1423]

Witam, mam taki zbiór do narysowania:
\(\displaystyle{ \left| arg\left( \frac{z+i}{z-i} \right) \right|< \frac{ \pi }{4}}\) dalej
\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4} <arg\left( \frac{z+i}{z-i} \right)< \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4}<arg(z+i)-arg(z-i)+2k \pi < \frac{ \pi }{4}}\)
i tak \(\displaystyle{ arg(z+i)}\) i \(\displaystyle{ arg(z-i)}\) narysuje, ale jak się ilustruje ich różnicę? Mógłby mi ktoś podpowiedzieć?

[kristoffwp]

Proponuję podstawić \(\displaystyle{ \frac{z+i}{z-i} =w}\).
Rysujesz zbiór \(\displaystyle{ \{x\in \mathbb{C}:\left| arg\left( w \right) \right|< \frac{ \pi }{4}\}}\)Otrzymujesz kąt. Potem wyznaczasz \(\displaystyle{ z}\) za pomocą \(\displaystyle{ w}\). Otrzymasz funkcję homograficzną. Da się ją po przejściu do postaci kanonicznej przedstawić jako złożenie różnych przekształceń. Najgorzej będzie z inwersją, która się tam pojawi, ale to chyba do przeskoczenia.
Kąt, który ci wyjdzie przekształcasz po prostu poprzez homografię.

[macik1423]

Spróbowałem rozwinąć to co napisałem, oto co mi wyszło:
wyznaczyłem \(\displaystyle{ argz=arctg \frac{y}{z}}\) podstawiłem to do:

\(\displaystyle{ arg(z+i)-arg(z-i)< \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ arctg \frac{y+1}{x}-arctg \frac{y-1}{x}< \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ tg(arctg \frac{y+1}{x}-arctg \frac{y-1}{x})<tg \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{tgarctg \frac{y+1}{x}-tgarctg \frac{y-1}{x} }{1+tgarctg \frac{y+1}{x} \cdot tgarctg \frac{y-1}{x} }<1}\)

po uproszczeniu wyszło:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x^2+y^2-1}<1}\)

Można tak zrobić?