Co to są wielomiany podziału koła???, bo nigdzie nie mogę znaleźć co to, a mam zadania do zrobienia...
z góry dziękuję i pozdrawiam.
pytanie nie wymagające liczenia
-
szw1710
pytanie nie wymagające liczenia
Są to wielomiany postaci \(\displaystyle{ \frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1}\)
Dostajemy je z definicji zespolonego pierwiastka z liczby \(\displaystyle{ 1}\). W liczbach zespolonych jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki. Wszystkie leżą na okręgu jednostkowym. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), to spełnia równanie \(\displaystyle{ x^n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x^n-1=0.}\) Zatem ten wielomian możemy podzielić z twierdzenia Bezouta przez \(\displaystyle{ x-1}\), przez co pozostałe pierwiastki z \(\displaystyle{ 1}\) są pierwiasktami wielomianu podziału okręgu.
Przykład. Pierwiastkami stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z jedynki są \(\displaystyle{ -1,1,-i,i}\). Spełniają więc równanie \(\displaystyle{ x^4-1=0}\). Dzieląc przez \(\displaystyle{ x-1}\) dostajemy równanie podziału okręgu \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1=0}\), które spełniają pozostałe pierwiastki, tj. \(\displaystyle{ -1,i,-i}\).
Dostajemy je z definicji zespolonego pierwiastka z liczby \(\displaystyle{ 1}\). W liczbach zespolonych jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki. Wszystkie leżą na okręgu jednostkowym. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), to spełnia równanie \(\displaystyle{ x^n=1}\), czyli \(\displaystyle{ x^n-1=0.}\) Zatem ten wielomian możemy podzielić z twierdzenia Bezouta przez \(\displaystyle{ x-1}\), przez co pozostałe pierwiastki z \(\displaystyle{ 1}\) są pierwiasktami wielomianu podziału okręgu.
Przykład. Pierwiastkami stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z jedynki są \(\displaystyle{ -1,1,-i,i}\). Spełniają więc równanie \(\displaystyle{ x^4-1=0}\). Dzieląc przez \(\displaystyle{ x-1}\) dostajemy równanie podziału okręgu \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1=0}\), które spełniają pozostałe pierwiastki, tj. \(\displaystyle{ -1,i,-i}\).